Encontre o sup e inf em Q dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de Q ):
A2=q in Q: q<0 e q^2<2;

Passo 1

O conjunto é A₂={q∈ℚ: q<0 e q²<2}. Vamos achar sup e inf considerando apenas números racionais.

Passo 2

Primeiro percebemos que q²<2 e q<0 implica −√2<q<0. Como estamos em ℚ, temos A₂=(−√2, 0)∩ℚ.

Passo 3

Para achar o sup de A₂ usamos a definição: é o menor upper bound em ℚ. Note que 0∈ℚ é upper bound de A₂ e qualquer r<0 não é, pois existem q∈A₂ com r<q<0. Logo sup A₂=0.

Passo 4

Para achar o inf de A₂ buscamos o maior lower bound em ℚ. Qualquer l>−√2 deixa de ser lower bound (existe q em A₂ com q<l) e qualquer l≤−√2 é lower bound. O maior desses seria −√2, mas −√2∉ℚ, então não existe greatest lower bound em ℚ.

Resposta

sup A₂=0 e inf A₂ não existe em ℚ (em ℝ seria −√2, mas isso não é racional).

Exercícios relacionados