Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique as interseç̧ões com os eixos x e y, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes e decrescentes.
(1) f(x)=|(x-2)^4-2|
(2) g(x)=|f(-x)-4|
(3) h(x)=-12 g(x-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar os gráficos de três funções e identificar algumas características de cada uma, como onde elas cortam os eixos, onde são positivas ou negativas, e onde estão aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar transformações de gráficos de funções mais simples. Vamos precisar entender como deslocar, refletir e esticar funções, além de trabalhar com valor absoluto e transformações de funções básicas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: $ f(x) = \left| (x - 2)^4 - 2 \right| $.
Primeiro, observamos que $ (x - 2)^4 $ é uma função polinomial semelhante a $ x^4 $, mas deslocada 2 unidades para a direita. O expoente 4 indica que a função será sempre positiva ou zero e terá uma forma de “U” bem plano perto da origem.
Agora, subtraímos 2: $ (x - 2)^4 - 2 $. Isso baixa o gráfico 2 unidades no eixo y. Por fim, aplicamos o valor absoluto: $ \left| (x - 2)^4 - 2 \right| $. O valor absoluto vai refletir qualquer parte do gráfico que esteja abaixo do eixo x para cima, tornando tudo positivo.

Passo 3

Vamos identificar as interseções com os eixos para $ f(x) $.
Interseção com o eixo y: É quando $ x = 0 $.
f(x)
Então, a interseção com o eixo y é (0, 14).
Interseções com o eixo x: É quando $ f(x) = 0 $.
x = 0
Portanto, as interseções com o eixo x são $ x = 2 + \sqrt[4]{2} $ e $ x = 2 - \sqrt[4]{2} $.

Passo 4

Vamos analisar onde $ f(x) $ é positiva ou negativa.
Como estamos lidando com valor absoluto, $ f(x) $ será sempre positiva ou zero. Ou seja, não há intervalos onde $ f(x) $ é negativa.

Passo 5

Agora, vamos ver onde a função está crescente ou decrescente.
Primeiro, sem o valor absoluto, $ (x - 2)^4 - 2 $ tem um ponto mínimo em $ x = 2 $. Após aplicar o valor absoluto, o gráfico fica simétrico em relação a esse ponto.
Então:
  • Para $ x < 2 $, a função está crescendo.
  • Para $ x > 2 $, a função também está crescendo.
No ponto $ x = 2 $, há um mínimo local.

Passo 6

Agora, vamos passar para a segunda função: $ g(x) = |f(-x) - 4| $.
Primeiro, substituímos $ x $ por $ -x $ em $ f(x) $, o que reflete o gráfico de $ f(x) $ em relação ao eixo y.
Então, $ f(-x) = \left| (-x - 2)^4 - 2 \right| = \left| (x + 2)^4 - 2 \right| $.
Depois, subtraímos 4: $ f(-x) - 4 $. Isso baixa o gráfico 4 unidades no eixo y.
Por fim, aplicamos o valor absoluto: $ |f(-x) - 4| $. Qualquer parte que esteja abaixo do eixo x será refletida para cima.

Passo 7

Vamos encontrar as interseções com os eixos para $ g(x) $.
Interseção com o eixo y: Quando $ x = 0 $.
g(x)
Então, a interseção com o eixo y é (0, 10).
Interseções com o eixo x: Quando $ g(x) = 0 $.
x = 0
Resolvendo $ \left| (x + 2)^4 - 2 \right| = 4 $:
g(0) = |f(-0) - 4| = |f(0) - 4| = |14 - 4| = 10
Como $ (x + 2)^4 $ sempre é positivo, descartamos a segunda opção:
g(x) = 0
Portanto, as interseções com o eixo x são $ x = -2 + \sqrt[4]{6} $ e $ x = -2 - \sqrt[4]{6} $.

Passo 8

Vamos analisar onde $ g(x) $ é positiva ou negativa.
Como é um valor absoluto, $ g(x) $ é sempre positivo ou zero. Não há intervalos onde $ g(x) $ é negativa.

Passo 9

Para ver onde $ g(x) $ está crescente ou decrescente, observamos que é uma composição de reflexões e deslocamentos. Isso mantém a tendência de crescimento da função original, mas refletida e deslocada. Portanto:
  • Para $ x < -2 $, $ g(x) $ está aumentando.
  • Para $ x > -2 $, $ g(x) $ também está aumentando.
No ponto $ x = -2 $, há um mínimo local.

Passo 10

Agora, vamos para a terceira função: $ h(x) = -\frac{1}{2} g(x - 2) $.
Primeiro, substituímos $ x $ por $ x - 2 $ em $ g(x) $, o que desloca o gráfico 2 unidades para a direita.
Depois, multiplicamos por $ -\frac{1}{2} $. O sinal negativo reflete o gráfico em relação ao eixo x, e o fator $ \frac{1}{2} $ comprime verticalmente a função pela metade.

Passo 11

Vamos encontrar as interseções com os eixos para $ h(x) $.
Interseção com o eixo y: Quando $ x = 0 $.
h(x)
Então, a interseção com o eixo y é (0, -5).
Interseções com o eixo x: Quando $ h(x) = 0 $.
x = 0
Já resolvemos $ g(x) = 0 $ anteriormente, então substituindo $ x $ por $ x - 2 $:
h(0) = -12 g(-2) = -12 times 10 = -5
Portanto, as interseções com o eixo x são $ x = \sqrt[4]{6} $ e $ x = -\sqrt[4]{6} $.

Passo 12

Vamos analisar onde $ h(x) $ é positiva ou negativa.
Como temos um valor absoluto multiplicado por $ -\frac{1}{2} $, $ h(x) $ será sempre negativo ou zero:
  • Sempre negativo, já que o valor absoluto é positivo e multiplicamos por um número negativo.

Passo 13

Finalmente, vamos ver onde $ h(x) $ está crescente ou decrescente.
A multiplicação por $ -\frac{1}{2} $ reflete a função e inverte as tendências de crescimento:
  • Para $ x < 2 $, $ h(x) $ está diminuindo.
  • Para $ x > 2 $, $ h(x) $ também está diminuindo.
No ponto $ x = 2 $, há um máximo local devido à reflexão.

Resposta

Finalizando, os gráficos das funções apresentadas têm as seguintes características:
  1. $ f(x) = \left| (x - 2)^4 - 2 \right| $
    • Interseções:
      • Eixo y: (0, 14)
      • Eixo x: $ x = 2 \pm \sqrt[4]{2} $
    • Sinal: Sempre positiva ou zero
    • Crescimento: Cresce em todo o domínio, com mínimo em $ x = 2 $
  2. $ g(x) = |f(-x) - 4| $
    • Interseções:
      • Eixo y: (0, 10)
      • Eixo x: $ x = -2 \pm \sqrt[4]{6} $
    • Sinal: Sempre positiva ou zero
    • Crescimento: Cresce em todo o domínio, com mínimo em $ x = -2 $
  3. $ h(x) = -\frac{1}{2} g(x - 2) $
    • Interseções:
      • Eixo y: (0, -5)
      • Eixo x: $ x = \pm \sqrt[4]{6} $
    • Sinal: Sempre negativa ou zero
    • Decrescimento: Decresce em todo o domínio, com máximo em $ x = 2 $
Essas características ajudam a esboçar os gráficos das funções aplicando as transformações discutidas.

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