Encontre o sup e inf em
dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de
):
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o supremo e o ínfimo em
do conjunto
. O tópico é ordem em
e vamos usar as definições de maior limite superior e menor limite inferior num conjunto ordenado.
Passo 2
Em primeiro lugar, recordar que
é supremo de
se (i)
é uma cota superior de
e (ii) para toda cota superior
de
, vale
.
Note que para qualquer temos
, então
é cota superior de
em
.
Note que para qualquer
Passo 3
Para ver que não existe cota superior menor que
, tome um racional
. Então
é racional, satisfaz
, logo
não domina todos os elementos de
. Assim,
é o menor dos limites superiores, ou seja,
.
Passo 4
Agora, procurar o ínfimo:
seria ínfimo se (i)
é cota inferior de
e (ii) para toda cota inferior
, tem-se
. Mas
não tem cota inferior em
, pois dado qualquer
, podemos escolher
, que pertence a
e é menor que
. Então não existe menor cota inferior.
Concluímos que é não limitado inferiormente em
, logo não há ínfimo em
, ou informalmente
na reta estendida.
Concluímos que