Encontre o sup e inf em Q dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de Q ):
A3=q in Q: q<2.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o supremo e o ínfimo em Q do conjunto A3 = q in Q: q < 2. O tópico é ordem em Q e vamos usar as definições de maior limite superior e menor limite inferior num conjunto ordenado.

Passo 2

Em primeiro lugar, recordar que s é supremo de A3 se (i) s é uma cota superior de A3 e (ii) para toda cota superior r de A3, vale s <= r.
Note que para qualquer q in A3 temos q < 2, então 2 é cota superior de A3 em Q.

Passo 3

Para ver que não existe cota superior menor que 2, tome um racional r < 2. Então (r+2)/2 é racional, satisfaz r < (r+2)/2 < 2, logo r não domina todos os elementos de A3. Assim, 2 é o menor dos limites superiores, ou seja, sup A3 = 2.

Passo 4

Agora, procurar o ínfimo: m seria ínfimo se (i) m é cota inferior de A3 e (ii) para toda cota inferior n, tem-se n <= m. Mas A3 não tem cota inferior em Q, pois dado qualquer n, podemos escolher q = n - 1, que pertence a A3 e é menor que n. Então não existe menor cota inferior.
Concluímos que A3 é não limitado inferiormente em Q, logo não há ínfimo em Q, ou informalmente inf A3 = -infty na reta estendida.

Resposta

sup A3 = 2, e não existe inf A3 em Q.

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