Encontre T, Ne \kappa para curvas espaciais nos seguintes itens.
\mathbf{r}(t)=\left(\cos ^{3} t\right) \mathbf{i}+\left(\sin ^{3} t\right) \mathbf{j}, \quad 0<t<\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=\big(\cos^{3}t\big)\mathbf{i}+\big(\sin^{3}t\big)\mathbf{j},\qquad 0<t<\tfrac{\pi}{2},
e pede três coisas: a unidade tangente \mathbf{T}(t), a unidade normal principal \mathbf{N}(t) e a curvatura \kappa(t).
Informações importantes que vêm do enunciado:
  • O intervalo 0<t<\tfrac{\pi}{2} implica \sin t>0 e \cos t>0, o que garante que a velocidade não se anula nesse intervalo (logo a curva é regular ali).
  • Vou usar as definições padrão:
    • \mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
    • \kappa(t)=\dfrac{\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}}.
    • \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} (quando \mathbf{T}'(t)\neq\mathbf{0}).

Passo 2

Calcular \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\big(\cos^{3}t\big)=3\cos^{2}t\cdot(-\sin t)=-3\cos^{2}t\sin t,
\frac{d}{dt}\big(\sin^{3}t\big)=3\sin^{2}t\cdot\cos t=3\sin^{2}t\cos t.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=-3\cos^{2}t\sin t\;\mathbf{i}+3\sin^{2}t\cos t\;\mathbf{j}.
Fatorando 3\cos t\sin t,
\mathbf{r}'(t)=3\cos t\sin t\big(-\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}\big).

Passo 3

Calcular a velocidade \|\mathbf{r}'(t)\|. Usando a fatoração e que \cos^{2}t+\sin^{2}t=1:
\|\mathbf{r}'(t)\|=|3\cos t\sin t|\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=3\cos t\sin t,
onde no último passo usei \cos t>0 e \sin t>0 no intervalo dado para tirar o valor absoluto.
Logo a unidade tangente é
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{3\cos t\sin t\big(-\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}\big)}{3\cos t\sin t} =-\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}.
Observe que \|\mathbf{T}(t)\|=\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=1, como deve ser.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}''(t). Diferenciando \mathbf{r}'(t) componente a componente:
Para a componente x(t)=-3\cos^{2}t\sin t:
x''(t)=-3\frac{d}{dt}\big(\cos^{2}t\sin t\big) =-3\big( (-2\cos t\sin t)\sin t + \cos^{2}t\cos t\big)
= -3\big(-2\cos t\sin^{2}t+\cos^{3}t\big) =6\cos t\sin^{2}t-3\cos^{3}t.
Pode-se escrever
x''(t)=3\cos t\big(2\sin^{2}t-\cos^{2}t\big).
Para a componente y(t)=3\sin^{2}t\cos t:
y''(t)=3\frac{d}{dt}\big(\sin^{2}t\cos t\big) =3\big(2\sin t\cos t\cdot\cos t+\sin^{2}t\cdot(-\sin t)\big)
=3\big(2\sin t\cos^{2}t-\sin^{3}t\big) =3\sin t\big(2\cos^{2}t-\sin^{2}t\big).
Portanto
\mathbf{r}''(t)=3\cos t\big(2\sin^{2}t-\cos^{2}t\big)\mathbf{i} +3\sin t\big(2\cos^{2}t-\sin^{2}t\big)\mathbf{j}.

Passo 5

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a fórmula do produto vetorial (embed no plano como vetor em \mathbb{R}^{3} com terceira componente zero). Para vetores no plano,
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=|x'y''-y'x''|.
Vamos computar x'y''-y'x''. Denotando c=\cos t e s=\sin t para abreviar:
  • x'=-3c^{2}s.
  • y'=3s^{2}c.
  • x''=3c(2s^{2}-c^{2}).
  • y''=3s(2c^{2}-s^{2}).
Então
x'y''-y'x''=-3c^{2}s\cdot 3s(2c^{2}-s^{2})-3s^{2}c\cdot 3c(2s^{2}-c^{2}).
Fatorando 9c^{2}s^{2}:
x'y''-y'x''=-9c^{2}s^{2}\big((2c^{2}-s^{2})+(2s^{2}-c^{2})\big) =-9c^{2}s^{2}(c^{2}+s^{2})=-9c^{2}s^{2}.
A magnitude é \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=9\cos^{2}t\sin^{2}t.
Agora
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^{3}} =\frac{9\cos^{2}t\sin^{2}t}{(3\cos t\sin t)^{3}} =\frac{9c^{2}s^{2}}{27c^{3}s^{3}}=\frac{1}{3cs}.
Voltando a t,
\kappa(t)=\frac{1}{3\sin t\cos t}=\frac{2}{3\sin(2t)}.

Passo 6

Calcular \mathbf{N}(t). Já temos \mathbf{T}(t)=-\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}. Derivando:
\mathbf{T}'(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}.
A norma de \mathbf{T}'(t) é
\|\mathbf{T}'(t)\|=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1.
Além disso há a relação \mathbf{T}'(t)=\kappa(t)\|\mathbf{r}'(t)\|\mathbf{N}(t)=\kappa(t)v(t)\mathbf{N}(t). Aqui \kappa(t)v(t)=\dfrac{1}{3cs}\cdot 3cs=1, logo \mathbf{T}'(t)=\mathbf{N}(t). Consequentemente
\mathbf{N}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}.
Verifique-se que \|\mathbf{N}(t)\|=1 e \mathbf{T}(t)\cdot\mathbf{N}(t)=0.

Resposta

\mathbf{T}(t)=-\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}
\mathbf{N}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}
\kappa(t)=\dfrac{1}{3\sin t\cos t}=\dfrac{2}{3\sin(2t)}

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