Encontre T, Ne
para curvas espaciais nos seguintes itens.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede três coisas: a unidade tangente
, a unidade normal principal
e a curvatura
.
Informações importantes que vêm do enunciado:
- O intervalo
implica e , o que garante que a velocidade não se anula nesse intervalo (logo a curva é regular ali). - Vou usar as definições padrão:
-
. -
. -
(quando ).
-
Passo 2
Calcular
. Derivando componente a componente:
Portanto
Fatorando
,
Passo 3
Calcular a velocidade
. Usando a fatoração e que
:
onde no último passo usei
e
no intervalo dado para tirar o valor absoluto.
Logo a unidade tangente é
Observe que
, como deve ser.
Passo 4
Calcular
. Diferenciando
componente a componente:
Para a componente
:
Pode-se escrever
Para a componente
:
Portanto
Passo 5
Calcular a curvatura
usando a fórmula do produto vetorial (embed no plano como vetor em
com terceira componente zero). Para vetores no plano,
Vamos computar
. Denotando
e
para abreviar:
-
. -
. -
. -
.
Então
Fatorando
:
A magnitude é
.
Agora
Voltando a
,
Passo 6
Calcular
. Já temos
. Derivando:
A norma de
é
Além disso há a relação
. Aqui
, logo
. Consequentemente
Verifique-se que
e
.