Encontre a taxa média de variação de f(x)=x+3x+1 no intervalo [1, x].

Passo 1

Temos a função f(x) = x+3x+1 e queremos calcular a taxa média de variação no intervalo [1, x]. O conceito de taxa média (ou quociente de diferença) diz que, dados a e b, temos:
Taxa;média = f(b) - f(a)b - a é
Vamos aplicar isso com a = 1 e b = x. Note que precisamos de x neq -1 para a função estar definida e x neq 1 para o denominador não ser zero.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(1). Substituindo na expressão:
f(1) = 1 + 31 + 1 = 42 = 2

Passo 3

Agora, montamos o quociente de diferença entre f(x) e f(1):
f(x) - f(1)x - 1 = x + 3x + 1 - 2x - 1

Passo 4

Simplificamos o numerador, fazendo a subtração de frações:
x + 3x + 1 - 2 = x + 3 - 2(x + 1)x + 1 = x + 3 - 2x - 2x + 1 = -x + 1x + 1

Passo 5

Finalmente, dividimos esse resultado por x - 1 e simplificamos:
-x + 1x + 1x - 1 = -x + 1(x + 1)(x - 1) = -x - 1(x + 1)(x - 1) = -1x + 1

Resposta

-1x+1

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