Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^+infty e^n3^n-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty e^n3^n-1 converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries de termos não-negativos e, em especial, séries geométricas. Para resolver, vamos reescrever o termo geral de modo a identificar se é uma série geométrica e, em seguida, aplicar o critério de convergência de séries geométricas.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral:
e^n3^n-1 = e^n3^ncdot3 = 3l(e3r)^n
Dessa forma, a série fica
sumn=1^infty e^n3^n-1 = sumn=1^infty 3 l(e3r)^n
Isso mostra que é uma série geométrica de razão r = e3. O teste da série geométrica diz que ela converge se, e somente se, |r|<1. Aqui
l|tfrace3r| = tfrace3 approx 0,906 < 1,
logo a série converge.

Passo 3

Opcionalmente, podemos calcular a soma de uma série geométrica iniciada em n=1:
sumn=1^infty a,r^n = ar1-r
No nosso caso, a=3 e r=tfrace3, de modo que
sumn=1^infty 3l(tfrace3r)^n = 3tfrace31-tfrace3 = 3e3-e

Resposta

A série converge (é geométrica com razão e/3<1) e sua soma é 3e3-e.

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