Encontre a temperatura da barra de comprimento com
, difusividade térmica
, completamente isolada
e
e condição inicial
, sendo
Passo 1
A questão trata da equação do calor unidimensional com difusividade térmica c=1 em uma barra de comprimento L=π, com isolamento em x=0 (T_x(0,t)=0) e extremidade mantida a zero em x=π (T(π,t)=0). A condição inicial é T(x,0)=f(x)=80. Vamos usar separação de variáveis e expansão em autovetores para achar T(x,t).
Passo 2
Assumimos solução do tipo T(x,t)=X(x)G(t). Substituindo em T_t = T_{xx} dá G’(t)/G(t)=X’’(x)/X(x) = −λ (constante de separação). Isso gera dois problemas ordinários: G’(t)+λG(t)=0 e X’’(x)+λX(x)=0.
Passo 3
Pelo contorno X’(0)=0 (isolamento) e X(π)=0, procuramos autovalores λ>0. A solução para X é X(x)=A cos(kx). O contorno em x=π exige cos(kπ)=0, logo kπ=(2n+1)π/2 ⇒ k_n=(2n+1)/2, λ_n=k_n2=((2n+1)2)/4. Assim os autovetores normalizados são X_n(x)=cos((2n+1)x/2) e G_n(t)=e^{-λ_n t}.
Passo 4
A solução geral é combinação linear das m odores:
Passo 5
Para determinar A_n usamos a condição inicial T(x,0)=80 e a ortogonalidade de X_n em [0,π]:
Calculando as integrais, obtém-se
.
Passo 6
Substituindo A_n na série, chegamos à solução completa da temperatura T(x,t).