Encontre o termo geral a_{n} das sequências abaixo (com n \geq 1 ) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
1,-2,3,-4,5,-6, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são 1,-2,3,-4,5,-6,\ldots com n\ge 1. O que nos pede:
  • Encontrar o termo geral a_{n} (expressão que vale para todo n\ge 1).
  • Verificar se a sequência converge ou diverge; se convergir, achar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos, em ordem, são a_{1}=1, a_{2}=-2, a_{3}=3, a_{4}=-4, \ldots.
  • O índice n começa em 1.

Passo 2

Vamos identificar padrões observáveis nos termos:
  • O valor absoluto dos termos cresce como 1,2,3,4,5,6,\ldots; ou seja, o módulo do n-ésimo termo é n.
  • O sinal alterna: termos em posições ímpares são positivos ( a_{1},a_{3},a_{5},\ldots são +1,+3,+5,\ldots) e termos em posições pares são negativos ( a_{2},a_{4},a_{6},\ldots são -2,-4,-6,\ldots).
Precisamos então de um fator que seja +1 quando n é ímpar e -1 quando n é par. Uma forma padrão para isso é usar potências de -1: (-1)^{n+1} ou (-1)^{n-1}. Vamos verificar como funciona:
  • Para n=1: (-1)^{1+1}=(-1)^2=+1 (positivo).
  • Para n=2: (-1)^{2+1}=(-1)^3=-1 (negativo).
  • Para n=3: (-1)^{3+1}=(-1)^4=+1 (positivo).
    Portanto (-1)^{n+1} dá o sinal correto (positivo em n ímpar, negativo em n par).

Passo 3

Juntando o módulo n com o fator de sinal (-1)^{n+1}, obtemos a expressão candidata para o termo geral:
a_{n}=(-1)^{n+1}\,n.
Vamos verificar com os primeiros termos:
  • n=1: a_{1}=(-1)^{2}\cdot1=1.
  • n=2: a_{2}=(-1)^{3}\cdot2=-2.
  • n=3: a_{3}=(-1)^{4}\cdot3=3.
  • n=4: a_{4}=(-1)^{5}\cdot4=-4.
    Isso coincide com a sequência dada. Observação: (-1)^{n+1}n é equivalente a (-1)^{n-1}n porque os expoentes diferem por 2.

Passo 4

Agora analisamos a convergência. Lembrete prático: uma sequência (a_{n}) converge para um número finito L se os termos a_{n} se aproximam cada vez mais de L quando n\to\infty. Se os termos crescem em magnitude sem limite, ou se seguem dois comportamentos incompatíveis (por exemplo, uma subsequência vai para +\infty e outra para -\infty), então a sequência não converge para um número finito.
Calculemos o módulo:
|a_{n}| = |(-1)^{n+1} n| = n.
Como n\to\infty, temos |a_{n}|\to\infty. Isso significa que os termos não ficam próximos de nenhum número finito — sua magnitude cresce sem limite.
Podemos também olhar para as subsequências:
  • Subsequência dos índices ímpares: a_{2k-1}=2k-1\to +\infty quando k\to\infty.
  • Subsequência dos índices pares: a_{2k}=-2k\to -\infty quando k\to\infty.
    As duas subsequências têm limites infinitos de sinais opostos, portanto não existe um limite finito comum para toda a sequência.

Passo 5

Conclusão: a sequência não converge para nenhum número finito; ela diverge (os módulos dos termos tendem a infinito e as subsequências par/ímpar vão para -\infty e +\infty respectivamente).

Resposta

a_{n}=(-1)^{n+1}\,n
Diverge (não tem limite finito; |a_{n}|\to\infty).

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