Encontre o termo geral
das sequências abaixo (com
) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
com
. O que nos pede:
- Encontrar o termo geral
(expressão que vale para todo ). - Verificar se a sequência converge ou diverge; se convergir, achar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
- Os termos, em ordem, são
, , , , . - O índice
começa em .
Passo 2
Vamos identificar padrões observáveis nos termos:
- O valor absoluto dos termos cresce como
; ou seja, o módulo do -ésimo termo é . - O sinal alterna: termos em posições ímpares são positivos (
são ) e termos em posições pares são negativos ( são ).
Precisamos então de um fator que seja
quando
é ímpar e
quando
é par. Uma forma padrão para isso é usar potências de
:
ou
. Vamos verificar como funciona:
- Para
: (positivo). - Para
: (negativo). - Para
: (positivo).
Portantodá o sinal correto (positivo em ímpar, negativo em par).
Passo 3
Juntando o módulo
com o fator de sinal
, obtemos a expressão candidata para o termo geral:
Vamos verificar com os primeiros termos:
-
: . -
: . -
: . -
: .
Isso coincide com a sequência dada. Observação:é equivalente a porque os expoentes diferem por .
Passo 4
Agora analisamos a convergência. Lembrete prático: uma sequência
converge para um número finito
se os termos
se aproximam cada vez mais de
quando
. Se os termos crescem em magnitude sem limite, ou se seguem dois comportamentos incompatíveis (por exemplo, uma subsequência vai para
e outra para
), então a sequência não converge para um número finito.
Calculemos o módulo:
Como
, temos
. Isso significa que os termos não ficam próximos de nenhum número finito — sua magnitude cresce sem limite.
Podemos também olhar para as subsequências:
- Subsequência dos índices ímpares:
quando . - Subsequência dos índices pares:
quando .
As duas subsequências têm limites infinitos de sinais opostos, portanto não existe um limite finito comum para toda a sequência.
Passo 5
Conclusão: a sequência não converge para nenhum número finito; ela diverge (os módulos dos termos tendem a infinito e as subsequências par/ímpar vão para
e
respectivamente).
Resposta
Diverge (não tem limite finito;