Encontre o termo geral a_{n} das sequências abaixo (com n \geq 1 ) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
(1-1 / 2),(1 / 3-1 / 2),(1 / 3-1 / 4),(1 / 5-1 / 4), \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são (1-1/2),(1/3-1/2),(1/3-1/4),(1/5-1/4),\ldots e pede duas coisas:
  • encontrar o termo geral a_{n} para n\ge 1;
  • determinar se a sequência converge ou diverge; se convergir, achar o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes fornecidas:
  • os termos aparecem como diferenças entre recíprocos de inteiros consecutivos, com sinais que alternam;
  • temos uma lista explícita dos primeiros quatro termos que devemos usar para descobrir o padrão.

Passo 2

Vamos olhar com calma os quatro primeiros termos para tentar enxergar o padrão e indexá‑los por n:
  • para n=1: a_1 = 1 - \tfrac{1}{2},
  • para n=2: a_2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2},
  • para n=3: a_3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4},
  • para n=4: a_4 = \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{4}.
Repare que cada termo é da forma “recíproco de um inteiro menos recíproco do inteiro seguinte”, mas o sinal alterna porque às vezes o maior denominador vem primeiro. Uma maneira simples de organizar é separar índices pares e ímpares.

Passo 3

Definimos k inteiro positivo e escrevemos os termos em função de k.
Se n é ímpar, escreva n=2k-1 com k\ge1. Observando os exemplos:
a_{2k-1}=\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}.
Fazendo a subtração com denominador comum obtemos
a_{2k-1}=\frac{2k-(2k-1)}{(2k-1)(2k)}=\frac{1}{(2k-1)(2k)}.
Se n é par, escreva n=2k com k\ge1. Observando:
a_{2k}=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k}.
Fazendo a subtração:
a_{2k}=\frac{2k-(2k+1)}{(2k)(2k+1)}=-\frac{1}{(2k)(2k+1)}.
Portanto temos uma forma peça‑por‑peça já bem simples:
a_{2k-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k)},\qquad a_{2k}=-\frac{1}{(2k)(2k+1)}.

Passo 4

Agora transformamos essa definição peça‑por‑peça numa fórmula única em função de n. Observando as formas, note que tanto para ímpares quanto para pares podemos escrever
a_n=\frac{(-1)^{\,n+1}}{n(n+1)}.
Vamos checar rapidamente com os primeiros termos:
  • n=1:\\ a_1=\dfrac{(-1)^{2}}{1\cdot2}=\dfrac{1}{2}=\;1-\dfrac{1}{2}.
  • n=2:\\ a_2=\dfrac{(-1)^{3}}{2\cdot3}=-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}.
  • n=3:\\ a_3=\dfrac{(-1)^{4}}{3\cdot4}=\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}.
  • n=4:\\ a_4=\dfrac{(-1)^{5}}{4\cdot5}=-\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{4}.
Portanto a fórmula unificada está correta.

Passo 5

Vamos estudar a convergência de \bigl(a_n\bigr). Uma maneira direta é olhar o módulo dos termos:
\bigl|a_n\bigr|=\frac{1}{n(n+1)}.
Note que para n\ge1 vale a desigualdade
0\le \frac{1}{n(n+1)}\le\frac{1}{n^2}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0 e \bigl|a_n\bigr| é não negativo e menor ou igual a algo que tende a 0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) concluímos que
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr|=0.
Então \lim_{n\to\infty}a_n=0 também (pois se o módulo tende a zero, o próprio termo tende a zero). Outra observação intuitiva: o numerador (-1)^{n+1} é limitado em magnitude por 1 enquanto o denominador n(n+1) cresce sem limite, logo a fração tende a 0.

Passo 6

Resumo do que aprendemos e dica para a prova: ao ver diferenças de recíprocos tente escrever com denominador comum e simplificar — frequentemente aparecem termos do tipo \pm 1/(n(n+1)). Identificar padrão par/ímpar e depois unir em uma fórmula única com (-1)^{n} costuma ser uma boa tática. Para mostrar convergência, comparar com 1/n^2 é uma forma rápida e segura.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{(-1)^{\,n+1}}{n(n+1)}
Converge; \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0

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