Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
a_{n}=\frac{(-1)^{n+1} }{2 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n} e pede para determinar se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite e justificar cada passo.
  • A sequência é \displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}.
  • Pergunta: a sequência converge ou diverge? Se convergir, qual é o limite?

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples e direta, o que significa que uma sequência converge.
  • Dizemos que uma sequência \{a_n\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N vale |a_n-L|<\varepsilon.
  • Uma maneira prática de mostrar convergência é provar que as distâncias |a_n-L| podem ser tornadas arbitrariamente pequenas escolhendo n suficientemente grande.

Passo 3

Observação sobre o termo geral: calculemos o valor absoluto de a_n, que costuma facilitar ver limites quando há sinal alternante.
|a_n|=\left|\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}\right|=\frac{1}{2n+1}.
Aqui usei que |(-1)^{n+1}|=1 para todo n.

Passo 4

Agora examinamos o comportamento de \dfrac{1}{2n+1} quando n\to\infty.
  • É conhecido (e fácil de ver) que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
  • Como 2n+1\ge n para todo n, temos \displaystyle 0\le\frac{1}{2n+1}\le\frac{1}{n}.
  • Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), como \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{1}{2n+1}\ge 0, concluímos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.

Passo 5

Relacionando o que achamos em valores absolutos com a sequência original.
  • Como |a_n|=\dfrac{1}{2n+1} e \dfrac{1}{2n+1}\to 0, segue que |a_n|\to 0.
  • Isso significa |a_n-0|\to 0, ou seja, a_n\to 0.
  • Em palavras: mesmo que os sinais de a_n alternem (por causa de (-1)^{n+1}), as magnitudes vão para zero suficientemente rápido para que toda a sequência tenda a zero.

Passo 6

Prova ε–N detalhada (para que fique formal e você possa reproduzir na prova).
Seja \varepsilon>0. Queremos N tal que, para todo n\ge N, |a_n-0|<\varepsilon, isto é,
\frac{1}{2n+1}<\varepsilon.
Resolver isso para n:
2n+1>\frac{1}{\varepsilon}\quad\Rightarrow\quad n>\frac{1}{2\varepsilon}-\frac{1}{2}.
Portanto, basta escolher
N=\left\lceil\frac{1}{2\varepsilon}\right\rceil .
Para esse N, se n\ge N então 2n+1\ge 2N+1>\frac{1}{\varepsilon}, logo \dfrac{1}{2n+1}<\varepsilon. Isso prova rigorosamente que a_n\to 0.

Passo 7

Comentário extra (intuitivo e útil para provas rápidas): há um resultado prático usado com frequência — se \{b_n\} é uma sequência que tende a +\infty e \{c_n\} é limitada (por exemplo |c_n|\le M), então c_n/b_n\to 0. Aqui b_n=2n+1\to\infty e c_n=(-1)^{n+1} é limitada por 1, portanto a_n=c_n/b_n\to 0. Isso dá a mesma conclusão de forma rápida.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

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