Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo: a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}
}{2 n+1}
Passo 1
O enunciado dá a sequência a_{n} e pede para determinar se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar o limite e justificar cada passo.
A sequência é \displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}.
Pergunta: a sequência converge ou diverge? Se convergir, qual é o limite?
Passo 2
Vamos lembrar, de forma simples e direta, o que significa que uma sequência converge.
Dizemos que uma sequência \{a_n\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N vale |a_n-L|<\varepsilon.
Uma maneira prática de mostrar convergência é provar que as distâncias |a_n-L| podem ser tornadas arbitrariamente pequenas escolhendo n suficientemente grande.
Passo 3
Observação sobre o termo geral: calculemos o valor absoluto de a_n, que costuma facilitar ver limites quando há sinal alternante.
Agora examinamos o comportamento de \dfrac{1}{2n+1} quando n\to\infty.
É conhecido (e fácil de ver) que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como 2n+1\ge n para todo n, temos \displaystyle 0\le\frac{1}{2n+1}\le\frac{1}{n}.
Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), como \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{1}{2n+1}\ge 0, concluímos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0.
Passo 5
Relacionando o que achamos em valores absolutos com a sequência original.
Como |a_n|=\dfrac{1}{2n+1} e \dfrac{1}{2n+1}\to 0, segue que |a_n|\to 0.
Isso significa |a_n-0|\to 0, ou seja, a_n\to 0.
Em palavras: mesmo que os sinais de a_n alternem (por causa de (-1)^{n+1}), as magnitudes vão para zero suficientemente rápido para que toda a sequência tenda a zero.
Passo 6
Prova ε–N detalhada (para que fique formal e você possa reproduzir na prova).
Seja \varepsilon>0. Queremos N tal que, para todo n\ge N, |a_n-0|<\varepsilon, isto é,
Para esse N, se n\ge N então 2n+1\ge 2N+1>\frac{1}{\varepsilon}, logo \dfrac{1}{2n+1}<\varepsilon. Isso prova rigorosamente que a_n\to 0.
Passo 7
Comentário extra (intuitivo e útil para provas rápidas): há um resultado prático usado com frequência — se \{b_n\} é uma sequência que tende a +\infty e \{c_n\} é limitada (por exemplo |c_n|\le M), então c_n/b_n\to 0. Aqui b_n=2n+1\to\infty e c_n=(-1)^{n+1} é limitada por 1, portanto a_n=c_n/b_n\to 0. Isso dá a mesma conclusão de forma rápida.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.