Encontre o termo geral
das sequências abaixo (com
) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
Passo 1
O enunciado dá os termos
com
, e pede duas coisas:
- escrever o termo geral
da sequência; - dizer se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes que o enunciado já dá:
- para cada
natural positivo é fornecido o valor ; -
varia por .
Passo 2
Detectar o padrão e escrever o termo geral.
Observando os termos, para cada
aparece
de
. Logo o termo geral é
Aqui
é a função seno e
é o argumento do seno.
Passo 3
Entender o comportamento intuitivo quando
cresce.
- Quando
temos . - A função seno é contínua em todo ponto, em particular em
. Pela propriedade de continuidade, valores do argumento próximos de dão seno próximos de . Isso sugere que tende a .
Vou transformar essa intuição em prova rigorosa (duas maneiras úteis na prova).
Passo 4
Prova por continuidade (jeito direto e rápido).
A função
é contínua em
. Se
então
.
Como quando
, aplicando a continuidade segue que
Como
Isso mostra que a sequência converge e seu limite é
.
Passo 5
Prova alternativa e muito usada em exames: desigualdade que permite usar o Teorema do Confronto (squeeze).
Uma desigualdade clássica é: para todo
,
(Justificação curta: considere a função
. Tem
e
, então
é crescente em
e assim
, logo
.)
Aplicando essa desigualdade com
obtemos
Como
, pelo Teorema do Confronto segue que
Essa prova é útil porque evita falar diretamente de continuidade e é bastante aceita em provas.
Passo 6
Comentário adicional (útil para a prova): sinal e monotonicidade.
- Para todo
temos , e em a função é crescente. Como diminui quando aumenta, a sequência é uma sequência positiva e decrescente. Toda sequência positiva e decrescente que tem limite inferior (que aqui é o caso) converge para esse limite inferior; isto reforça a convergência para .
Passo 7
Resumo didático do que fazer numa prova curta:
- identifique o termo geral
; - use ou a continuidade da função seno em
ou a desigualdade e o Teorema do Confronto para concluir que o limite é ; - se quiser, observe que a sequência é positiva e decrescente, o que também indica convergência para
.