Encontre o termo geral a_{n} das sequências abaixo (com n \geq 1 ) e determine se cada uma converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite:
\operatorname{sen} 1, \operatorname{sen}(1 / 2), \operatorname{sen}(1 / 3), \operatorname{sen}(1 / 4), \ldots

Passo 1

O enunciado dá os termos
\operatorname{sen} 1,\; \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{2}\right),\; \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{3}\right),\; \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{1}{4}\right),\ldots com n\ge 1, e pede duas coisas:
  • escrever o termo geral a_{n} da sequência;
  • dizer se a sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite.
Informações relevantes que o enunciado já dá:
  • para cada n natural positivo é fornecido o valor \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right);
  • n varia por 1,2,3,\dots.

Passo 2

Detectar o padrão e escrever o termo geral.
Observando os termos, para cada n aparece \operatorname{sen} de 1/n. Logo o termo geral é
a_{n}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right),\qquad n\ge 1.
Aqui \operatorname{sen} é a função seno e \dfrac{1}{n} é o argumento do seno.

Passo 3

Entender o comportamento intuitivo quando n cresce.
  • Quando n\to\infty temos \dfrac{1}{n}\to 0.
  • A função seno é contínua em todo ponto, em particular em 0. Pela propriedade de continuidade, valores do argumento próximos de 0 dão seno próximos de \operatorname{sen}(0)=0. Isso sugere que a_n tende a 0.
Vou transformar essa intuição em prova rigorosa (duas maneiras úteis na prova).

Passo 4

Prova por continuidade (jeito direto e rápido).
A função x\mapsto\operatorname{sen}(x) é contínua em x=0. Se x_n\to 0 então \operatorname{sen}(x_n)\to \operatorname{sen}(0)=0.
Como \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, aplicando a continuidade segue que
\lim_{n\to\infty}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)=\operatorname{sen}(0)=0.
Isso mostra que a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 5

Prova alternativa e muito usada em exames: desigualdade que permite usar o Teorema do Confronto (squeeze).
Uma desigualdade clássica é: para todo x\ge 0,
\operatorname{sen}(x)\le x.
(Justificação curta: considere a função g(x)=x-\operatorname{sen}(x). Tem g(0)=0 e g'(x)=1-\cos x\ge 0, então g é crescente em [0,\infty) e assim g(x)\ge 0, logo \operatorname{sen}(x)\le x.)
Aplicando essa desigualdade com x=\dfrac{1}{n}\ge 0 obtemos
0\le \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}.
Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)=0.
Essa prova é útil porque evita falar diretamente de continuidade e é bastante aceita em provas.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): sinal e monotonicidade.
  • Para todo n\ge 1 temos 0<\dfrac{1}{n}\le 1<\dfrac{\pi}{2}, e em [0,\tfrac{\pi}{2}] a função \operatorname{sen} é crescente. Como \dfrac{1}{n} diminui quando n aumenta, a sequência \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right) é uma sequência positiva e decrescente. Toda sequência positiva e decrescente que tem limite inferior 0 (que aqui é o caso) converge para esse limite inferior; isto reforça a convergência para 0.

Passo 7

Resumo didático do que fazer numa prova curta:
  • identifique o termo geral a_n=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{n}\right);
  • use ou a continuidade da função seno em 0 ou a desigualdade \operatorname{sen}(x)\le x e o Teorema do Confronto para concluir que o limite é 0;
  • se quiser, observe que a sequência é positiva e decrescente, o que também indica convergência para 0.

Resposta

a_{n}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{n}\right)
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0

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