A natureza das soluções de um sistema de EDOs autônomo e homogêneo se relaciona com a natureza dos autovalores da matriz associada ao sistema. Podemos ter: Dois autovalores reais e distintos com sinais contrários, dois autovalores reais e distintos com sinais iguais, dois autovalores reais e iguais, ou ainda dois autovalores complexos conjugados. Cada um destes tipos nos leva a soluções com comportamentos qualitativos diferentes.
Com base nisso, analise os valores de alpha para os quais temos as características apontadas para os autovalores, e indique os valores críticos de alpha para os quais ocorre uma mudança nestas características.
(a) Y^prime=(ll2 & -5 alpha & -2) Y

Passo 1

O enunciado pede para estudar como varia a natureza dos autovalores da matriz
A=2 & -5 alpha & -2
de um sistema linear autônomo homogêneo, e identificar os valores de alpha em que ocorrem mudanças qualitativas no tipo de solução (sela, nó, centro etc.). Vamos usar teoria de autovalores: traço, determinante e discriminante.

Passo 2

Calculamos o traço e o determinante de A, e montamos a equação característica:
Traço:
tr(A)=2+(-2)=0
Determinante:
det(A)=2cdot(-2)-(-5)cdotalpha=-4+5alpha
Equação característica:
lambda^2-(tr,A)lambda+det(A)=0
ou seja
lambda^2+(-4+5alpha)=0

Passo 3

O discriminante dessa equação é
De
As condições são:
  • De0 se alpha, então há duas raízes reais distintas e como tr(A)=0 elas são de sinais opostos (sela).
  • De se alpha=tfrac45, então as raízes coincidem em lambda=0 (caso degenerado, ponto não hiperbólico).
  • De se alpha>tfrac45, então as raízes são complexas conjugadas puramente imaginárias (centro).

Passo 4

Concluímos que só há uma mudança qualitativa no valor crítico
alpha=tfrac45.
Para alpha temos sela (autovalores reais distintos e de sinais contrários),
para alpha=tfrac45 temos autovalor real duplo 0 (ponto degenerado),
para alpha>tfrac45 temos centro (autovalores complexos conjugados).

Resposta

O único valor crítico é alpha=tfrac45. Para alpha ocorre sela (autovalores reais distintos de sinais opostos), em alpha=tfrac45 ocorre caso degenerado com lambda=0 duplo, e para alpha>tfrac45 ocorre centro (autovalores complexos conjugados).

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