A natureza das soluções de um sistema de EDOs autônomo e homogêneo se relaciona com a natureza dos autovalores da matriz associada ao sistema. Podemos ter: Dois autovalores reais e distintos com sinais contrários, dois autovalores reais e distintos com sinais iguais, dois autovalores reais e iguais, ou ainda dois autovalores complexos conjugados. Cada um destes tipos nos leva a soluções com comportamentos qualitativos diferentes.
Com base nisso, analise os valores de
para os quais temos as características apontadas para os autovalores, e indique os valores críticos de
para os quais ocorre uma mudança nestas características.
(a)
Com base nisso, analise os valores de
(a)
Passo 1
O enunciado pede para estudar como varia a natureza dos autovalores da matriz
de um sistema linear autônomo homogêneo, e identificar os valores de
em que ocorrem mudanças qualitativas no tipo de solução (sela, nó, centro etc.). Vamos usar teoria de autovalores: traço, determinante e discriminante.
Passo 2
Calculamos o traço e o determinante de
, e montamos a equação característica:
Traço:
Traço:
Determinante:
Equação característica:
ou seja
Passo 3
O discriminante dessa equação é
As condições são:
-
se , então há duas raízes reais distintas e como elas são de sinais opostos (sela). -
se , então as raízes coincidem em (caso degenerado, ponto não hiperbólico). -
se , então as raízes são complexas conjugadas puramente imaginárias (centro).
Passo 4
Concluímos que só há uma mudança qualitativa no valor crítico
.
Para temos sela (autovalores reais distintos e de sinais contrários),
para temos autovalor real duplo
(ponto degenerado),
para temos centro (autovalores complexos conjugados).
Para
para
para
Resposta
O único valor crítico é
. Para
ocorre sela (autovalores reais distintos de sinais opostos), em
ocorre caso degenerado com
duplo, e para
ocorre centro (autovalores complexos conjugados).