Encontre o termo geral da sequência, começando com n=1, determine se a sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
12, 34, 56, 78, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o termo geral de uma sequência que começa assim: 12, 34, 56, 78, ldots Depois, precisamos ver se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número quando vamos aumentando os termos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a regra que gera os termos dessa sequência. Observando os numeradores: 1, 3, 5, 7, … Parece que estão aumentando de 2 em 2. Então, podemos expressar o numerador como 2n - 1, onde n é a posição do termo na sequência.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os denominadores: 2, 4, 6, 8, … Eles também aumentam de 2 em 2. Assim, o denominador pode ser representado por 2n, com n indicando a posição do termo.

Passo 4

Com isso, conseguimos escrever o termo geral da sequência. O termo na posição n é dado por:
an = 2n - 12n

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa sequência converge, ou seja, se existe um número que os termos se aproximam conforme n cresce. Para isso, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty 2n - 12n

Passo 6

Para calcular esse limite, podemos dividir numerador e denominador por n:
limn to infty 2 - 1n2
À medida que n cresce, 1n tende a 0, então temos:
2 - 02 = 1

Resposta

O termo geral da sequência é an = 2n - 12n. A sequência converge e o limite é 1.

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