Encontre o termo geral da sequência, começando com
, determine se a sequência converge
, se isso acontecer, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o termo geral de uma sequência que começa assim:
Depois, precisamos ver se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número quando vamos aumentando os termos. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a regra que gera os termos dessa sequência. Observando os numeradores: 1, 3, 5, 7, … Parece que estão aumentando de 2 em 2. Então, podemos expressar o numerador como
, onde
é a posição do termo na sequência.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os denominadores: 2, 4, 6, 8, … Eles também aumentam de 2 em 2. Assim, o denominador pode ser representado por
, com
indicando a posição do termo.
Passo 4
Com isso, conseguimos escrever o termo geral da sequência. O termo na posição
é dado por:
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa sequência converge, ou seja, se existe um número que os termos se aproximam conforme
cresce. Para isso, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Passo 6
Para calcular esse limite, podemos dividir numerador e denominador por
:
À medida que
cresce,
tende a 0, então temos:
Resposta
O termo geral da sequência é
. A sequência converge e o limite é 1.