Nos Exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados.
As curvas
e
.
As curvas
Passo 1
O enunciado pede o centróide da região do plano limitada pelas curvas
(parábola voltada pra cima, deslocada pra baixo) e
(parábola voltada pra baixo). O conteúdo envolve centroide de uma região plana, para o qual usamos as fórmulas
- área
, - abscissa do centróide
, - ordenada do centróide
.
Vamos precisar de integração de polinômios e achar os limites de integração.
Passo 2
Para achar os limites, igualamos as curvas:
que leva a
Solucionando, obtemos
e
. No intervalo
, a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 3
Calculamos a área:
Integramos:
Avaliado de
a
dá
Logo
.
Passo 4
Agora a abscissa do centróide:
Integramos:
Avaliado, obtemos numerador
. Assim
Passo 5
Agora a ordenada do centróide:
Expandindo a diferença de quadrados e dividindo por 2:
Integramos:
Avaliado de
a
dá
. Logo
Passo 6
Portanto, o centróide da região é o ponto
.
Resposta
(\tfrac12,,-\tfrac32)