Nos Exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados.
As curvas y=x^2-4 e y=2 x-x^2.

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região do plano limitada pelas curvas y=x^2-4 (parábola voltada pra cima, deslocada pra baixo) e y=2x-x^2 (parábola voltada pra baixo). O conteúdo envolve centroide de uma região plana, para o qual usamos as fórmulas
  • área A=integrala^b [ysup(x)-yinf(x)],dx,
  • abscissa do centróide bar x=1Aintegrala^b x [ysup(x)-yinf(x)],dx,
  • ordenada do centróide bar y=12Aintegrala^b [ysup(x)^2-yinf(x)^2],dx.
    Vamos precisar de integração de polinômios e achar os limites de integração.

Passo 2

Para achar os limites, igualamos as curvas:
x^2-4=2x-x^2
que leva a
2x^2-2x-4=0Longrightarrow x^2-x-2=0
Solucionando, obtemos x=-1 e x=2. No intervalo [-1,2], a curva superior é ysup(x)=2x-x^2 e a inferior é yinf(x)=x^2-4.

Passo 3

Calculamos a área:
A=integral-1^2l[(2x-x^2)-(x^2-4)r]dx=integral-1^2(-2x^2+2x+4),dx
Integramos:
integral(-2x^2+2x+4)dx=-tfrac2x^33+x^2+4x
Avaliado de -1 a 2
l(-tfrac163+4+8r)-l(+tfrac23+1-4r)=tfrac203-(-tfrac73)=9
Logo A=9.

Passo 4

Agora a abscissa do centróide:
bar x=1Aintegral-1^2xl[(2x-x^2)-(x^2-4)r]dx=19integral-1^2(-2x^3+2x^2+4x)dx
Integramos:
integral(-2x^3+2x^2+4x)dx=-tfracx^42+tfrac2x^33+2x^2
Avaliado, obtemos numerador =tfrac92. Assim
bar x=19cdot92=12

Passo 5

Agora a ordenada do centróide:
bar y=12Aintegral-1^2l[(2x-x^2)^2-(x^2-4)^2r]dx
Expandindo a diferença de quadrados e dividindo por 2:
(2x-x^2)^2-(x^2-4)^22=-2x^3+6x^2-8
Integramos:
integral(-2x^3+6x^2-8)dx=-tfracx^42+2x^3-8x
Avaliado de -1 a 2 -tfrac272. Logo
bar y=12cdot9,(-tfrac272)=-tfrac32

Passo 6

Portanto, o centróide da região é o ponto (bar x,bar y)=(tfrac12,-tfrac32).

Resposta

(\tfrac12,,-\tfrac32)

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