Encontre o termo geral da sequência, começando com
, determine se a sequência converge
, se isso acontecer, encontre o limite.
Passo 1
A sequência dada é 1/3, –1/9, 1/27, –1/81, … Começando em n=1, estamos lidando com uma progressão geométrica. Vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão para escrever o termo geral, depois usar a teoria de convergência de PGs.
Passo 2
Para uma progressão geométrica, cada termo se obtém multiplicando o anterior por uma razão q. Aqui cálculo q:
Calculando
Passo 3
Sabendo que a_1 = 1/3 e q = -1/3, o termo geral de uma PG é
Logo, substituindo, temos
Podemos simplificar essa expressão:
Portanto
Passo 4
Uma progressão geométrica converge se, e somente se, |q|<1, e nesse caso o limite é zero. Aqui |q| = |–1/3| = 1/3 < 1, logo a sequência converge e
Passo 5
O limite da sequência é
Resposta
O termo geral é
. A sequência converge e seu limite é 0.