Encontre o termo geral da sequência, começando com n=1, determine se a sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
13,-19, 127,-181, ldots

Passo 1

A sequência dada é 1/3, –1/9, 1/27, –1/81, … Começando em n=1, estamos lidando com uma progressão geométrica. Vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão para escrever o termo geral, depois usar a teoria de convergência de PGs.

Passo 2

Para uma progressão geométrica, cada termo se obtém multiplicando o anterior por uma razão q. Aqui cálculo q:
Calculando
q = a2a1 = -tfrac19tfrac13 = -tfrac13

Passo 3

Sabendo que a_1 = 1/3 e q = -1/3, o termo geral de uma PG é
an = a1 cdot q^,n-1
Logo, substituindo, temos
an = 13 l(-tfrac13r)^n-1
Podemos simplificar essa expressão:
l(-tfrac13r)^n-1 = (-1)^n-1 cdot 3^-(n-1)
Portanto
an = (-1)^n-13^n

Passo 4

Uma progressão geométrica converge se, e somente se, |q|<1, e nesse caso o limite é zero. Aqui |q| = |–1/3| = 1/3 < 1, logo a sequência converge e

Passo 5

O limite da sequência é
limntoinfty an = 0

Resposta

O termo geral é an = (-1)^n-13^n. A sequência converge e seu limite é 0.

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