Determine se a sequencia converge:
nn+2n=1^+inftyn^22 n+1n=1^+infty2n=1^+inftyn sen pinn=1^+infty(-1)^n+1n^2n=1^+infty
(-1)^n 2 n^3n^3+1n=1^+inftyn2^nn=1^+inftypi^n4^nn=1^+inftyn^2 e^-nn=1^+inftyraizn^2+3 n-nn=1^+infty
(n+3n+1)^nn=1^+infty(1-2n)^nn=1^+infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se várias sequências convergem ou não. Estamos lidando com a matéria de Cálculo de Limites e Análise de Série, onde vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre limites de sequências e critérios de convergência. Vamos analisar cada sequência uma por uma para ver se elas têm um limite quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 2

Sequência 1: $ \left{\frac{n}{n+2}\right}_{n=1}^{+\infty} $
Primeiro, vamos olhar para a sequência $ \frac{n}{n+2} $. Quando $ n $ cresce e cresce, os termos no numerador e no denominador dominam.
Teoria Aplicada: Para encontrar o limite de $ \frac{n}{n+2} $ quando $ n $ tende ao infinito, podemos dividir numerador e denominador por $ n $:
nn+2n=1^+infty
À medida que $ n $ vai para o infinito, $ \frac{2}{n} $ tende a 0. Então:
nn+2
Então, essa sequência converge para 1.

Passo 3

Sequência 2: $ \left{\frac{n{2}}{2n+1}\right}_{n=1}{+\infty} $
Aqui, temos $ \frac{n^2}{2n+1} $. O numerador cresce mais rápido que o denominador.
Teoria Aplicada: Para determinar o limite, observamos o comportamento das potências de $ n $. O termo de maior grau no numerador é $ n^2 $ e no denominador é $ n $.
n^22n+1n=1^+infty
Como o numerador cresce mais rápido (grau 2 vs. grau 1), o limite tende ao infinito.
Então, essa sequência não converge; ela diverge para $ +\infty $.

Passo 4

Sequência 3: $ {2}_{n=1}^{+\infty} $
Essa é uma sequência constante onde todo termo é 2.
Teoria Aplicada: Para sequências constantes $ a_n = c $, o limite é simplesmente $ c $.
2n=1^+infty
Portanto, essa sequência converge para 2.

Passo 5

Sequência 4: $ \left{n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right}_{n=1}^{+\infty} $
Aqui temos $ n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) $.
Teoria Aplicada: Sabemos que $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $. Vamos reescrever a expressão:
n cdot sin(pin)n=1^+infty
Quando $ n \to \infty $, $ \frac{\pi}{n} \to 0 $. Então:
n cdot sin(pin)
Assim, essa sequência converge para $ \pi $.

Passo 6

Sequência 5: $ \left{\frac{(-1){n+1}}{n{2}}\right}_{n=1}^{+\infty} $
Temos $ \frac{(-1){n+1}}{n{2}} $, que é uma sequência alternada.
Teoria Aplicada: Para sequências da forma $ \frac{(-1)n}{np} $, onde $ p > 0 $, o limite é 0 porque o denominador cresce sem limite e o numerador oscila entre -1 e 1.
(-1)^n+1n^2n=1^+infty
Portanto, essa sequência converge para 0.

Passo 7

Sequência 6: $ \left{(-1)^{n} \frac{2n{3}}{n{3}+1}\right}_{n=1}^{+\infty} $
Aqui temos $ (-1)^n \frac{2n3}{n3 + 1} $, que é uma sequência alternada com termos de grandeza similar no numerador e denominador.
Teoria Aplicada: Primeiro, analisamos o comportamento absoluto:
(-1)^n 2n^3n^3+1n=1^+infty
Quando $ n \to \infty $, $ \frac{1}{n^3} \to 0 $:
(-1)^n 2n^3n^3 + 1
Então, os termos da sequência oscilam entre $ 2 $ e $ -2 $, sem se aproximarem de nenhum valor específico.
Logo, essa sequência não converge; ela oscila entre dois valores.

Passo 8

Sequência 7: $ \left{\frac{n}{2{n}}\right}_{n=1}{+\infty} $
Vamos analisar $ \frac{n}{2^n} $, onde o numerador cresce linearmente e o denominador cresce exponencialmente.
Teoria Aplicada: Para limites onde o denominador cresce exponencialmente, ele domina o crescimento do numerador:
n2^nn=1^+infty
Isso porque $ 2^n $ cresce muito mais rápido que $ n $.
Portanto, essa sequência converge para 0.

Passo 9

Sequência 8: $ \left{\frac{\pi{n}}{4{n}}\right}_{n=1}^{+\infty} $
Temos $ \frac{\pin}{4n} = \left(\frac{\pi}{4}\right)^n $.
Teoria Aplicada: Observamos a base da potência:
pi^n4^nn=1^+infty
Como essa base é menor que 1, a potência tende a 0 quando $ n \to \infty $.
pi^n4^n = (pi4)^n
Então, essa sequência converge para 0.

Passo 10

Sequência 9: $ \left{n^{2} e{-n}\right}_{n=1}{+\infty} $
Aqui temos $ n^2 e^{-n} $, onde $ n^2 $ cresce polinomialmente e $ e^{-n} $ decresce exponencialmente.
Teoria Aplicada: Novamente, o termo exponencial domina o polinomial:
n^2 e^-nn=1^+infty
Isso porque $ e^n $ cresce muito mais rápido que qualquer polinômio.
Portanto, essa sequência converge para 0.

Passo 11

Sequência 10: $ \left{\sqrt{n^{2}+3n} - n\right}_{n=1}^{+\infty} $
Precisamos analisar $ \sqrt{n^2 + 3n} - n $.
Teoria Aplicada: Podemos racionalizar ou expandir para facilitar o limite:
raizn^2+3n - nn=1^+infty
Usando a aproximação $ \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} $ para $ x $ pequeno:
raizn^2 + 3n - n
Então:
raizn^2+3n - n = n ( raiz1 + 3n - 1 )
Portanto:
raiz1 + x approx 1 + x2
Assim, essa sequência converge para $ \frac{3}{2} $.

Passo 12

Sequência 11: $ \left{\left(\frac{n+3}{n+1}\right){n}\right}_{n=1}{+\infty} $
Analisamos $ \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n $.
Teoria Aplicada: Podemos reescrever a expressão:
(n+3n+1)^nn=1^+infty
Sabemos que $ \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n $ tende a $ e^k $ quando $ n \to \infty $.
Aqui, $ \frac{2}{n+1} \approx \frac{2}{n} $, então:
(n+3n+1)^n
Portanto, essa sequência converge para $ e^{2} $.

Passo 13

Sequência 12: $ \left{\left(1-\frac{2}{n}\right){n}\right}_{n=1}{+\infty} $
Vamos ver $ \left(1 - \frac{2}{n}\right)^n $.
Teoria Aplicada: Usamos a definição de $ e^{-k} $:
(1-2n)^nn=1^+infty
Isso porque $ \left(1 - \frac{k}{n}\right)^n $ tende a $ e^{-k} $ quando $ n \to \infty $.
Logo, essa sequência converge para $ e^{-2} $.

Resposta

Todas as sequências analisadas convergem da seguinte forma:
  1. $ \frac{n}{n+2} $ → 1
  2. $ \frac{n^{2}}{2n+1} $ → Diverge para $ +\infty $
  3. $ 2 $ → 2
  4. $ n \cdot \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) $ → $ \pi $
  5. $ \frac{(-1){n+1}}{n{2}} $ → 0
  6. $ (-1)^n \frac{2n{3}}{n{3}+1} $ → Diverge (oscila entre -2 e 2)
  7. $ \frac{n}{2^{n}} $ → 0
  8. $ \frac{\pi{n}}{4{n}} $ → 0
  9. $ n^{2} e^{-n} $ → 0
  10. $ \sqrt{n^{2}+3n} - n $ → $ \frac{3}{2} $
  11. $ \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^{n} $ → $ e^{2} $
  12. $ \left(1-\frac{2}{n}\right)^{n} $ → $ e^{-2} $

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