Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar o termo geral da sequência das somas parciais da série dada; (2) decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, obter sua soma. A série dada é
Informações relevantes que temos: o termo geral da série é
para
. Não há figura ou tabela. A resolução começa a partir desse termo geral.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades importantes do logaritmo natural que usaremos (explico como se fosse um macete de prova):
- A propriedade do quociente: para quaisquer
e ,
Isto significa que um logaritmo de uma fração vira diferença de logaritmos — ótimo para “desmontar” somas telescópicas.
- A propriedade da soma de logaritmos: se fizermos
. Essa é a razão pela qual somar logaritmos equivale a multiplicar os argumentos.
Vou aplicar a primeira propriedade ao termo genérico
.
Passo 3
Aplicando
ao termo genérico, obtemos
Isso já sugere telescopia: quando somarmos vários termos consecutivos, muitos termos internos vão cancelar. Para ver o padrão na prática, escrevemos as primeiras somas parciais.
Passo 4
Calculemos as primeiras somas parciais explicitamente para enxergar o cancelamento:
Repare que cada
cancela com o
do termo seguinte, sobrando sempre
no início e
no final.]
Passo 5
Generalizando esse padrão por indução ou observação direta, a soma parcial de ordem
é
Como
, simplificamos para
Esse é o termo geral da sequência das somas parciais. (Como alternativa — só para ver outro ponto de vista — poderíamos ter escrito a soma como o logaritmo do produto:
, observar que
e então tirar o logaritmo para obter o mesmo resultado.)
Passo 6
Agora analisamos a convergência: precisamos estudar o limite da sequência das somas parciais quando
. Temos
Sabemos que
quando
, portanto
. Assim as somas parciais não tendem a um número finito; tendem a
.
Passo 7
Conclusão: a série não converge no sentido usual (não tem soma finita). Dizemos que a série diverge e, mais precisamente, diverge para
. Não existe soma finita a ser fornecida.
Resposta
Termo geral das somas parciais:
.
Conclusão sobre a série: diverge, pois (não há soma finita).
Conclusão sobre a série: diverge, pois