Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1.2 .3 .4 .5 \ldots n .(n+2)}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots n\cdot (n+2)}
e pede: (a) encontrar o termo geral da sequência de somas parciais (ou seja, S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n com a_n sendo o termo geral da série) e (b) decidir se a série converge e, em caso afirmativo, determinar sua soma.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: o numerador é 1 e o denominador é o produto 1\cdot 2\cdot 3\cdots n\cdot (n+2). Observação imediata que vamos usar mais adiante: o produto 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n é exatamente n!, então podemos escrever
a_n=\frac{1}{n!\,(n+2)}.

Passo 2

Vamos escolher um método: a ideia clássica para termos com fatoriais é tentar escrever cada a_n como diferença de duas quantidades cujos somatórios se telescopam (cancelam em cadeia). Antes de entrar na álgebra, um mini-aula sobre o que usamos aqui:
  • Fatorial: \,n!\,=1\cdot 2\cdot 3\cdots n. Ex.: 4!=24.
  • Sequência de somas parciais: S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n. Se conseguirmos escrever a_n = b_n - b_{n+1}, então a soma parcial telescopa:
S_N = \sum_{n=1}^{N}(b_n-b_{n+1}) = b_1-b_{N+1},
pois todos os termos internos cancelam. Esse é o objetivo: transformar a_n em uma diferença simples envolvendo factorials, por exemplo algo do tipo \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}.

Passo 3

Tentamos escrever a_n=\dfrac{1}{n!(n+2)} como combinação linear de recíprocos de factorials deslocados. Proponho a forma
\frac{1}{n!(n+2)}=\frac{A}{(n+1)!}+\frac{B}{(n+2)!},
onde A e B são constantes (dependendo de n só por fatores óbvios). Agora colocamos cada termo sobre o mesmo denominador para resolver A e B.
Multiplicando ambos os lados por (n+2)(n+1)n! obtemos (fazendo as contas com calma):
(n+1)=A(n+2)+B.
Isso é uma identidade polinomial em n; igualando coeficientes: coeficiente de n A=1. Substituindo A=1 na constante: n+1 = 1\cdot(n+2)+B \Rightarrow n+1 = n+2 + B, logo B=-1.
Portanto a decomposição é
\boxed{\frac{1}{n!(n+2)}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}.}

Passo 4

Agora usamos a decomposição para somar até N. O termo geral a_n virou uma diferença, então a soma parcial telescopa. Escrevendo:
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} n=1:&\quad \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!},\\\ n=2:&\quad \frac{1}{3!}-\frac{1}{4!},\\\ n=3:&\quad \frac{1}{4!}-\frac{1}{5!},\\\ &\\ \\ \vdots\\\ n=N:&\quad \frac{1}{(N+1)!}-\frac{1}{(N+2)!}. \end{aligned}
Somando tudo, cancelam todos os termos intermediários (como \frac{1}{3!},\frac{1}{4!},\ldots,\frac{1}{(N+1)!}), sobrando apenas o primeiro positivo e o último negativo:
S_N=\frac{1}{2!}-\frac{1}{(N+2)!}.
Como \,2! = 2, podemos também escrever
\boxed{S_N=\frac{1}{2}-\frac{1}{(N+2)!}.}

Passo 5

Para estudar a convergência, analisamos o limite de S_N quando N\to\infty. Lembrando que factorial cresce super-rápido, temos
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{(N+2)!}=0.
Assim
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.
Logo a série converge e sua soma é \frac{1}{2}.

Passo 6

Pequena verificação intuitiva e exemplo extra (para fixar): se a gente tivesse começado com \dfrac{1}{n!(n+1)}, a mesma técnica dá
\frac{1}{n!(n+1)}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!},
e somando telescopa para dar 1-\frac{1}{(N+1)!}, que tende a 1. A técnica é praticamente a mesma: tentar combinar recíprocos de factorials deslocados para obter cancelamento em cadeia.

Passo 7

Resumo prático para a prova: identifique a_n=\dfrac{1}{n!(n+2)}, tente escrever como diferença de termos com factorials deslocados, resolva constantes por multiplicação e comparação, some e veja o telescoping. Não esqueça de verificar o limite do termo remanescente (aqui 1/(N+2)!).

Resposta

S_N=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(N+2)!}
A série converge e sua soma é \dfrac{1}{2}.

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