Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede: (a) encontrar o termo geral da sequência de somas parciais (ou seja,
com
sendo o termo geral da série) e (b) decidir se a série converge e, em caso afirmativo, determinar sua soma.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: o numerador é e o denominador é o produto
. Observação imediata que vamos usar mais adiante: o produto
é exatamente
, então podemos escrever
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: o numerador é
Passo 2
Vamos escolher um método: a ideia clássica para termos com fatoriais é tentar escrever cada
como diferença de duas quantidades cujos somatórios se telescopam (cancelam em cadeia). Antes de entrar na álgebra, um mini-aula sobre o que usamos aqui:
- Fatorial:
. Ex.: . - Sequência de somas parciais:
. Se conseguirmos escrever , então a soma parcial telescopa:
pois todos os termos internos cancelam. Esse é o objetivo: transformar
em uma diferença simples envolvendo factorials, por exemplo algo do tipo
.
Passo 3
Tentamos escrever
como combinação linear de recíprocos de factorials deslocados. Proponho a forma
onde
e
são constantes (dependendo de
só por fatores óbvios). Agora colocamos cada termo sobre o mesmo denominador para resolver
e
.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos (fazendo as contas com calma):
Isso é uma identidade polinomial em
; igualando coeficientes: coeficiente de
dá
. Substituindo
na constante:
, logo
.
Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora usamos a decomposição para somar até
. O termo geral
virou uma diferença, então a soma parcial telescopa. Escrevendo:
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
Somando tudo, cancelam todos os termos intermediários (como
), sobrando apenas o primeiro positivo e o último negativo:
Como
, podemos também escrever
Passo 5
Para estudar a convergência, analisamos o limite de
quando
. Lembrando que factorial cresce super-rápido, temos
Assim
Logo a série converge e sua soma é
.
Passo 6
Pequena verificação intuitiva e exemplo extra (para fixar): se a gente tivesse começado com
, a mesma técnica dá
e somando telescopa para dar
, que tende a
. A técnica é praticamente a mesma: tentar combinar recíprocos de factorials deslocados para obter cancelamento em cadeia.
Passo 7
Resumo prático para a prova: identifique
, tente escrever como diferença de termos com factorials deslocados, resolva constantes por multiplicação e comparação, some e veja o telescoping. Não esqueça de verificar o limite do termo remanescente (aqui
).
Resposta
A série converge e sua soma é