Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{5^{n}}
  1. encontrar o termo geral da sequência das somas parciais (ou seja, S_N, a soma dos primeiros N termos);
  2. determinar se a série converge ou diverge e, se convergir, obter o valor da soma.
    Informações dadas: o termo geral da série é \dfrac{2^{n-1}}{5^n} para n=1,2,\dots. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeiro vamos escrever o termo geral em forma reconhecível de uma progressão geométrica. Fazendo álgebra simples:
\frac{2^{n-1}}{5^{n}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{2^{n-1}}{5^{\,n-1}}=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}.
Então cada termo da série pode ser escrito como \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n-1}.

Passo 3

Agora identificamos os parâmetros da série geométrica:
o primeiro termo (quando n=1) é
a_1=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{0}=\frac{1}{5},
e a razão comum é
r=\frac{2}{5}.
(Verificação rápida: a_2=\dfrac{2}{25} e a_2/a_1=(2/25)/(1/5)=2/5.)

Passo 4

Vou agora relembrar e demonstrar a fórmula das somas parciais de uma progressão geométrica — isso é útil para a prova e rápido de decorar. Seja uma sequência geométrica com primeiro termo a e razão r. A soma dos primeiros N termos pode ser escrita como
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N-1}.
Multiplicando ambos os lados por r e subtraindo:
rS_N = ar + ar^2 + \cdots + ar^{N},
subtraindo as duas equações:
S_N - rS_N = a - ar^{N} \quad\Rightarrow\quad S_N(1-r)=a(1-r^{N}).
Assumindo r\neq 1, isolamos S_N:
S_N=\frac{a(1-r^{N})}{1-r}.
Essa é a fórmula que usaremos.

Passo 5

Aplicamos a fórmula ao nosso caso, com a=a_1=\dfrac{1}{5} e r=\dfrac{2}{5}:
S_N=\frac{\dfrac{1}{5}\bigl(1-(\tfrac{2}{5})^{N}\bigr)}{1-\tfrac{2}{5}}.
Simplificando o denominador 1-\tfrac{2}{5}=\tfrac{3}{5} e dividindo:
S_N=\frac{1}{5}\cdot\frac{1-(\tfrac{2}{5})^{N}}{\tfrac{3}{5}}=\frac{1}{3}\biggl(1-\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^{N}\biggr).
Portanto o termo geral da sequência de somas parciais é
S_N=\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{2}{5}\right)^{N}\right).

Passo 6

Para decidir convergência, observamos o comportamento de \left(\dfrac{2}{5}\right)^{N} quando N\to\infty. Como \left|\dfrac{2}{5}\right|<1, temos
\lim_{N\to\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{N}=0.
Logo
\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{3}\left(1-\left(\frac{2}{5}\right)^{N}\right)=\frac{1}{3}\cdot(1-0)=\frac{1}{3}.
Portanto a série converge e sua soma é \dfrac{1}{3}.

Resposta

S_N=\dfrac{1}{3}\left(1-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{N}\right)\nA série converge e sua soma é \dfrac{1}{3}.

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