Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{5^{n}}
encontrar o termo geral da sequência das somas parciais (ou seja, S_N, a soma dos primeiros N termos);
determinar se a série converge ou diverge e, se convergir, obter o valor da soma.
Informações dadas: o termo geral da série é \dfrac{2^{n-1}}{5^n} para n=1,2,\dots. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro vamos escrever o termo geral em forma reconhecível de uma progressão geométrica. Fazendo álgebra simples:
(Verificação rápida: a_2=\dfrac{2}{25} e a_2/a_1=(2/25)/(1/5)=2/5.)
Passo 4
Vou agora relembrar e demonstrar a fórmula das somas parciais de uma progressão geométrica — isso é útil para a prova e rápido de decorar. Seja uma sequência geométrica com primeiro termo a e razão r. A soma dos primeiros N termos pode ser escrita como
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N-1}.
Multiplicando ambos os lados por r e subtraindo:
rS_N = ar + ar^2 + \cdots + ar^{N},
subtraindo as duas equações:
S_N - rS_N = a - ar^{N} \quad\Rightarrow\quad S_N(1-r)=a(1-r^{N}).
Assumindo r\neq 1, isolamos S_N:
S_N=\frac{a(1-r^{N})}{1-r}.
Essa é a fórmula que usaremos.
Passo 5
Aplicamos a fórmula ao nosso caso, com a=a_1=\dfrac{1}{5} e r=\dfrac{2}{5}: