Encontre o termo geral da série
e, em seguida, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede (1) o termo geral
e (2) a soma infinita. Vamos usar frações parciais para transformar em série telescópica.
Passo 2
Note que os denominadores são sempre dois ímpares consecutivos:
. Para o
-ésimo termo (com
começando em 1) isso vira
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
dá
Igualando coeficientes em
:
Logo
Passo 4
Somando os
primeiros termos,
Essa soma telescopa: quase tudo se cancela, sobrando
Fazendo
entra
, então
Resposta
O termo geral é
e a soma da série infinita vale