Encontre o termo geral da série
11 cdot 3+13 cdot 5+15 cdot 7+ldots
e, em seguida, calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado dá a série
11cdot3+13cdot5+15cdot7+dots
e pede (1) o termo geral an e (2) a soma infinita. Vamos usar frações parciais para transformar em série telescópica.

Passo 2

Note que os denominadores são sempre dois ímpares consecutivos: 1cdot3,;3cdot5,;5cdot7,dots. Para o n-ésimo termo (com n começando em 1) isso vira
an = 1(2n-1)(2n+1)

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos constantes A e B tais que
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1)
1 = A(2n+1) + B(2n-1) = 2n(A+B)+(A-B)
Igualando coeficientes em n:
A+B=0, A-B=1 Longrightarrow A=tfrac12,;B=-tfrac12
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an = 12l(12n-1-12n+1r)

Passo 4

Somando os N primeiros termos,
SN = sumn=1^Nan = 12sumn=1^Nl(12n-1-12n+1r)
Essa soma telescopa: quase tudo se cancela, sobrando
SN = 12l(1 - 12N+1r)
Fazendo Ntoinfty entra tfrac12N+1to0, então
S = limNtoinftySN = 12

Resposta

O termo geral é
an = 1(2n-1)(2n+1)
e a soma da série infinita vale
12

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