Exercício 19. (Apostol, capítulo 7.17, exercício 1) Seja Z uma solução do sistema não homogêneo
Z^prime(t)=A Z(t)+Q(t)
num intervalo J com valor inicial Z(a). Prove que existe uma única solução do problema
Y^prime(t)=A Y(t)+Q(t)
com valor inicial Y(a) e que esta solução é dada pela fórmula
Y(t)=Z(t)+e^(t-a) A(Y(a)-Z(a))

Passo 1

O problema trata de um sistema linear não homogêneo
Y'(t)=A,Y(t)+Q(t)
num intervalo J, em que já sabemos uma solução particular Z(t) satisfazendo Z'(t)=A,Z(t)+Q(t) e Z(a) dado. Queremos provar que, para qualquer valor inicial Y(a), existe uma única solução Y(t) e que ela satisfaz
Y(t)=Z(t)+e^(t-a)Al(Y(a)-Z(a)r)
Os conteúdos necessários são: 1) subtrair soluções para reduzir ao sistema homogêneo; 2) resolução do homogêneo via matriz exponencial; 3) teorema de existência e unicidade para sistemas lineares.

Passo 2

Defina a função diferença
U(t)=Y(t)-Z(t)
Então, usando as equações de Y e Z, obtemos
U'(t)=Y'(t)-Z'(t)=l(A,Y(t)+Q(t)r)-l(A,Z(t)+Q(t)r)=Al(Y(t)-Z(t)r)=A,U(t)
Logo U(t) satisfaz o sistema homogêneo
U'(t)=A,U(t)

Passo 3

O valor inicial para U é
U(a)=Y(a)-Z(a)
Pelo teorema de existência e unicidade de soluções para sistemas lineares homogêneos, a única solução de
U'(t)=A,U(t), U(a)=Y(a)-Z(a)
é
U(t)=e^(t-a)Al(Y(a)-Z(a)r)

Passo 4

Voltando à Y, temos
Y(t)=Z(t)+U(t) =Z(t)+e^(t-a)Al(Y(a)-Z(a)r)
Para verificar que esta Y(t) realmente resolve o sistema não homogêneo com valor inicial Y(a):
1) Em t=a,
Y(a)=Z(a)+e^0cdot Al(Y(a)-Z(a)r)=Z(a)+(Y(a)-Z(a))=Y(a)
2) Derivando,
Y'(t)=Z'(t)+A,e^(t-a)Al(Y(a)-Z(a)r) =A,Z(t)+Q(t)+Al(Y(t)-Z(t)r) =A,Y(t)+Q(t)

Passo 5

Para a unicidade, suponha que exista outra solução widetilde Y(t) com o mesmo valor inicial. Então widetilde U(t)=widetilde Y(t)-Z(t) satisfaz o homogêneo com widetilde U(a)=Y(a)-Z(a), portanto widetilde U(t)=U(t) e widetilde Y(t)=Y(t). Assim a solução é única.

Resposta

Y(t)=Z(t)+e^(t-a)Al(Y(a)-Z(a)r)

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