Exercício 19. (Apostol, capítulo 7.17, exercício 1) Seja
uma solução do sistema não homogêneo
num intervalo
com valor inicial
. Prove que existe uma única solução do problema
com valor inicial
e que esta solução é dada pela fórmula
Passo 1
O problema trata de um sistema linear não homogêneo
num intervalo
, em que já sabemos uma solução particular
satisfazendo
e
dado. Queremos provar que, para qualquer valor inicial
, existe uma única solução
e que ela satisfaz
Os conteúdos necessários são:
) subtrair soluções para reduzir ao sistema homogêneo;
) resolução do homogêneo via matriz exponencial;
) teorema de existência e unicidade para sistemas lineares.
Passo 2
Defina a função diferença
Então, usando as equações de
e
, obtemos
Logo
satisfaz o sistema homogêneo
Passo 3
O valor inicial para
é
Pelo teorema de existência e unicidade de soluções para sistemas lineares homogêneos, a única solução de
é
Passo 4
Voltando à
, temos
Para verificar que esta
realmente resolve o sistema não homogêneo com valor inicial
:
) Em
,
Passo 5
Para a unicidade, suponha que exista outra solução
com o mesmo valor inicial. Então
satisfaz o homogêneo com
, portanto
e
. Assim a solução é única.