Calcule a série de Maclaurin da função f(x)=arctg(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=arctan(x), ou seja, sua expansão em torno de x=0. Para isso vamos usar que a derivada de arctan(x) é simples de expandir em série geométrica e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=ddxl(arctan(x)r)=11+x^2
Para lvert xrvert<1 podemos usar a série geométrica com u=x^2:
11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n

Passo 3

Como arctan(0)=0, temos
arctan(x)=integral0^xf'(t),dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^n,t^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1

Passo 4

Portanto a expansão de Maclaurin de arctan(x) é
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<1

Resposta

arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<1

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