Encontre o termo inicial a e a razão r de cada série geométrica, determine se a série converge ou diverge e caso convirja encontre sua soma
sumn=1^infty e^1-n

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o termo inicial a e a razão r da série geométrica sumn=1^infty e^1-n, verificar se ela converge e, se sim, calcular sua soma. O conteúdo é progressão geométrica infinita, e vamos usar o critério de convergência |r|<1 e a fórmula da soma a/(1-r).

Passo 2

O termo geral da série é an = e^1-n. Para o termo inicial, basta colocar n=1: a1 = e^1-1 = e^0 = 1. Então a = 1.
A razão é o quociente entre termos consecutivos. Calculamos:
r = an+1an = e^1-(n+1)e^1-n = e^-1 = 1e

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se e só se |r|<1. Como |1/e| = 1/e < 1, a série converge.
Para séries geométricas convergentes, a soma é dada por
S = a1-r = 11 - tfrac1e = ee-1

Resposta

a = 1, r = 1/e, converge e soma = e/(e-1).

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