Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(e) u_{x x}+2 u_{x y}+u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a EDP
u_{x x}+2\,u_{x y}+u_{y y}=0
e, por ser parabolic, levá-la à forma normal por mudança de variáveis e resolver.

Passo 2

Compare com a forma geral
A\,u_{x x}+2B\,u_{x y}+C\,u_{y y}=0
aqui A=1, B=1, C=1. Calcule o discriminante
\Delta = B^2 - A\,C = 1^2 - 1\cdot1 = 0.

Passo 3

Como \Delta=0, a EDP é de tipo parabólico. As curvas características vêm de
A\,(dy)^2 -2B\,dx\,dy + C\,(dx)^2 = 0\implies (dy - dx)^2 = 0\implies dy=dx.
Logo as características satisfazem
y - x = \text{constante}.
Defina a nova variável característica
\xi = y - x
e escolha a outra variável independente como
\eta = x.

Passo 4

Use a regra da cadeia para expressar as derivadas de u(x,y)=U(\xi,\eta). Como
\xi_x = -1,\\ \xi_y = 1,\quad \eta_x = 1,\\ \eta_y = 0,
temos
u_x = U_\xi\,\xi_x + U_\eta\,\eta_x = -U_\xi + U_\eta, \quad u_y = U_\xi\,\xi_y + U_\eta\,\eta_y = U_\xi.

Passo 5

Calcule as segundas derivadas:
\begin{aligned} u_{x x} &= \frac{\partial}{\partial x}(-U_\xi + U_\eta) = -\bigl(U_{\xi\xi}\,\xi_x + U_{\xi\eta}\,\eta_x\bigr) +\bigl(U_{\eta\xi}\,\xi_x + U_{\eta\eta}\,\eta_x\bigr)\\\ &= -\bigl(U_{\xi\xi}(-1) + U_{\xi\eta}(1)\bigr) +\bigl(U_{\eta\xi}(-1) + U_{\eta\eta}(1)\bigr) = U_{\xi\xi} -2\,U_{\xi\eta} + U_{\eta\eta},\\\ u_{x y} &= \frac{\partial}{\partial y}(-U_\xi + U_\eta) = -\bigl(U_{\xi\xi}\,\xi_y + U_{\xi\eta}\,\eta_y\bigr) +\bigl(U_{\eta\xi}\,\xi_y + U_{\eta\eta}\,\eta_y\bigr)\\\ &= -\bigl(U_{\xi\xi}(1) + U_{\xi\eta}(0)\bigr) +\bigl(U_{\eta\xi}(1) + U_{\eta\eta}(0)\bigr) = U_{\xi\eta} - U_{\xi\xi},\\\ u_{y y} &= \frac{\partial}{\partial y}(U_\xi) = U_{\xi\xi}\,\xi_y + U_{\xi\eta}\,\eta_y = U_{\xi\xi}. \end{aligned}

Passo 6

Substitua em
u_{x x}+2\,u_{x y}+u_{y y}=0:
(U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}) +2(U_{\xi\eta}-U_{\xi\xi}) +U_{\xi\xi} =U_{\eta\eta}=0.
Portanto a forma normal é
U_{\eta\eta}=0.

Passo 7

Integre duas vezes em \eta:
U(\xi,\eta)=A(\xi)\,\eta + B(\xi),
onde A e B são funções arbitrárias de \xi.

Passo 8

Volte às variáveis originais \xi=y-x e \eta=x. Assim
u(x,y)=U\bigl(y-x,\;x\bigr) =A(y-x)\,x + B(y-x).

Resposta

A EDP é parabólica; com \xi=y-x,\\ \eta=x ela fica U_{\eta\eta}=0 e a solução geral é
\boxed{u(x,y)=A(y-x)\,x + B(y-x),}
com A e B funções arbitrárias.

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