Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a EDP
em duas variáveis
. O primeiro objetivo é classificar essa equação (elíptica, parabólica ou hiperbólica). Se for hiperbólica ou parabólica, devemos obter variáveis características e levar a EDP à sua forma normal, resolvendo-a.
Passo 2
Para classificar usamos a forma canônica
, onde aqui
,
e
. O discriminante é
logo a EDP é do tipo hiperbólica.
Passo 3
As curvas características satisfazem
Definindo
, obtemos
Portanto podemos escolher as variáveis características
Invertendo
Passo 4
Usando
e a regra da cadeia:
Calculando as derivadas segundas e substituindo em
, chega‐se a
Essa é a forma normal da EDP hiperbólica.
Passo 5
Integrando
primeiro em
dá
onde
é função arbitrária de
. Depois integramos em
:
com
e
funções arbitrárias.
Resposta
A EDP é hiperbólica. Em coordenadas características
,
ela fica
e sua solução geral é
com
e
funções arbitrárias de uma variável.