Encontre o tipo da equação diferencial parcial (EDP) (hiperbólica, parabólica, elíptica). Se for tipo EDP hiperbólica ou parabólica, passe para forma normal, indicando mudança das variáveis, e resolva. (Mostre os detalhes com contas na questão anterior do que fizer):
(d) u_{x x}+u_{x y}-2 u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado dá a EDP
u_{xx}+u_{xy}-2\,u_{yy}=0
em duas variáveis x,y. O primeiro objetivo é classificar essa equação (elíptica, parabólica ou hiperbólica). Se for hiperbólica ou parabólica, devemos obter variáveis características e levar a EDP à sua forma normal, resolvendo-a.

Passo 2

Para classificar usamos a forma canônica A\,u_{xx}+B\,u_{xy}+C\,u_{yy}=0, onde aqui A=1, B=1 e C=-2. O discriminante é
\Delta = B^2 - 4AC = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = 1 + 8 = 9 > 0,
logo a EDP é do tipo hiperbólica.

Passo 3

As curvas características satisfazem
A\,(dy)^2 - B\,(dx)(dy) + C\,(dx)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; (dy)^2 - (dx)(dy) -2\,(dx)^2 =0.
Definindo r = \tfrac{dy}{dx}, obtemos
r^2 - r - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; r=2 \quad\text{ou}\quad r=-1.
Portanto podemos escolher as variáveis características
\xi = y - 2x, \quad \eta = y + x.
Invertendo
x = \frac{\eta - \xi}{3}, \quad y = \frac{\xi + 2\eta}{3}.

Passo 4

Usando u(x,y)=U(\xi,\eta) e a regra da cadeia:
u_x = U_\xi\,\xi_x + U_\eta\,\eta_x = -2\,U_\xi + U_\eta, \quad u_y = U_\xi\,\xi_y + U_\eta\,\eta_y = U_\xi + U_\eta.
Calculando as derivadas segundas e substituindo em u_{xx}+u_{xy}-2u_{yy}=0, chega‐se a
-9\,U_{\xi\eta}=0 \;\Longrightarrow\; U_{\xi\eta}=0.
Essa é a forma normal da EDP hiperbólica.

Passo 5

Integrando U_{\xi\eta}=0 primeiro em \eta
U_\xi(\xi,\eta)=F(\xi),
onde F é função arbitrária de \xi. Depois integramos em \xi:
U(\xi,\eta)=\int F(\xi)\,d\xi + G(\eta) = \widetilde F(\xi)+G(\eta),
com \widetilde F e G funções arbitrárias.

Resposta

A EDP é hiperbólica. Em coordenadas características \xi=y-2x, \eta=y+x ela fica
U_{\xi\eta}=0
e sua solução geral é
u(x,y)=F(y-2x)+G(y+x),
com F e G funções arbitrárias de uma variável.

Exercícios relacionados