Encontre o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{\ln (x)}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}.
O conteúdo aqui é limites com indeterminação, e vamos precisar identificar a forma indeterminada e aplicar a regra de L’Hôpital (ou reconhecer a definição de derivada de \ln(x) em x=1).

Passo 2

Para ver o tipo de indeterminação, substituímos x=1: \ln(1)=0 e 1-1=0.
Logo a expressão assume a forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação.

Passo 3

Como temos \tfrac{0}{0}, aplicamos a regra de L’Hôpital, isto é, derivamos numerador e denominador separadamente: A derivada de \ln(x) é \tfrac{1}{x} e a de x-1 é 1.
Portanto o limite passa a ser
\lim_{x\to1}\frac{\tfrac{1}{x}}{1} =\lim_{x\to1}\frac{1}{x}.

Passo 4

Avaliaremos \lim_{x\to1}\tfrac{1}{x} por substituição direta, obtendo 1/1=1.

Resposta

Tipo de indeterminação: \displaystyle \frac{0}{0}
Valor do limite: \displaystyle 1

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