Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\operatorname{sen}^{3}(4 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle y = \operatorname{sen}^3(4x).
O conteúdo principal é derivada de função composta, ou seja, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos uma função intermediária
u(x) = \operatorname{sen}(4x)
de modo que
y = [u(x)]^3.

Passo 3

A regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.
Como y = u^3, temos
\frac{dy}{du} = 3\,u^2,
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\frac{dy}{dx} = 3\,u^2 \;\frac{du}{dx}.

Passo 4

Agora calculamos \frac{du}{dx} para u(x)=\operatorname{sen}(4x). Novamente pela cadeia, derivada de \operatorname{sen}(v) é \cos(v) vezes v'. Aqui v=4x e v'=4. Então
\frac{du}{dx} = 4\,\cos(4x).

Passo 5

Substituindo u(x) e \frac{du}{dx} em \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = 3\bigl(\operatorname{sen}(4x)\bigr)^2 \cdot 4\cos(4x) = 12\,\operatorname{sen}^2(4x)\,\cos(4x).

Resposta

\frac{dy}{dx} = 12\,\operatorname{sen}^2(4x)\,\cos(4x).

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