Encontre todas as assíntotas verticias e horizontais das funções a seguir:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)(x-1)}{x^{3}(x-\pi)}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,(x-1)}{x^{3}\,(x-\pi)}.
Vamos determinar primeiro onde o denominador anula (candidatas a verticais) e depois estudar o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty (horizontal).

Passo 2

As potenciais assíntotas verticais vêm de
x^{3}(x-\pi)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=\pi.
Precisamos verificar se em cada ponto o numerador também anula (o que poderia anular a singularidade) ou não.

Passo 3

Em x=\pi, o numerador vale
\sin\bigl(\pi^{2}\bigr)\,(\pi-1),
e \sin(\pi^2)\neq0. Logo, há polo simples em x=\pi e, portanto, assíntota vertical em x=\pi.

Passo 4

Em x=0, o numerador é \sin(x^2)(x-1). Para x\to0, \sin(x^2)\approx x^2 e (x-1)\approx -1, logo o numerador \sim -x^2.
O denominador é x^3(x-\pi)\approx -\pi\,x^3. Assim
f(x)\;\approx\;\frac{-x^2}{-\pi\,x^3}\;=\;\frac1{\pi\,x},
que diverge quando x\to0^\pm. Portanto, há assíntota vertical em x=0.

Passo 5

Para x\to\pm\infty, temos \sin(x^2) limitado entre -1 e 1, o numerador cresce como O(x) e o denominador como O(x^4). Logo
f(x)\sim \frac{\sin(x^2)}{x^3}\;\longrightarrow\;0.
Isso mostra que y=0 é assíntota horizontal.

Resposta

As assíntotas verticais são x=0 e x=\pi,
e a assíntota horizontal é y=0.

Exercícios relacionados