Encontre todas as assíntotas verticias e horizontais das funções a seguir:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{\sin(x)}{x}.
O conteúdo envolve análise de domínio, limites em pontos críticos (para assíntotas verticais) e limites em \pm\infty (para assíntotas horizontais).

Passo 2

Para achar possíveis assíntotas verticais, primeiro determinamos o domínio de f. A função está definida sempre que o denominador não for zero, isto é, para x\neq 0.
O único ponto a examinar é x\to 0. Calculamos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,
que é finito. Como o limite não diverge para \pm\infty, trata-se de uma descontinuidade removível, não de assíntota vertical. Não há nenhum outro ponto fora do domínio, logo não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para assíntota horizontal, investigamos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin(x)}{x}, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin(x)}{x}.
Como \sin(x) está sempre entre -1 e 1, temos
-\,\frac{1}{|x|}\le \frac{\sin(x)}{x}\le \frac{1}{|x|},
e \lim_{x\to\pm\infty}1/|x|=0. Pelo teorema do sanduíche,
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin(x)}{x} =\lim_{x\to-\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0.
Isso mostra que y=0 é assíntota horizontal tanto por +\infty quanto por -\infty.

Resposta

Não há assíntotas verticais.
A única assíntota horizontal é y=0.

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