Encontre todas as assíntotas verticias e horizontais das funções a seguir:
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)^{2}}{x^{2}\left(x^{2}+2 x+1\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{x^2\,(x+1)^2}
e pede as assíntotas verticais e horizontais. Para isso, vamos:
  1. Identificar onde o denominador se anula (potenciais assíntotas verticais ou descontinuidades removíveis).
  2. Analisar os limites em torno desses pontos.
  3. Estudar o comportamento de f(x) quando x\to\pm\infty para achar assíntotas horizontais.

Passo 2

O denominador é zero em x=0 e em x=-1, pois
x^2\,(x+1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=-1.
Precisamos verificar em cada caso se o limite de f(x) é finito (descontinuidade removível) ou infinito (assíntota vertical).

Passo 3

Analisando x\to 0: usamos que \operatorname{sen}(x)\sim x quando x é pequeno. Então
\operatorname{sen}^2(x)\sim x^2 \quad\text{e}\quad x^2\,(x+1)^2\sim x^2\cdot1^2=x^2.
Logo
f(x)=\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{x^2\,(x+1)^2}\sim\frac{x^2}{x^2}=1,
portanto \lim_{x\to0}f(x)=1 é finito e não há assíntota vertical em x=0 (apenas um furo).

Passo 4

Analisando x\to -1: faça t=x+1, assim t\to0 e x=-1+t. Então
\operatorname{sen}^2(x)=\operatorname{sen}^2(-1+t)\to\operatorname{sen}^2(-1)\neq0,
enquanto
x^2\,(x+1)^2=(\\ -1+t)^2\,t^2\sim1\cdot t^2=t^2.
Logo
f(x)\sim\frac{\operatorname{sen}^2(-1)}{t^2}\longrightarrow+\infty
quando t\to0 (de ambos os lados), o que caracteriza uma assíntota vertical em x=-1.

Passo 5

Para x\to\pm\infty, temos \operatorname{sen}^2(x) sempre entre 0 e 1, e o denominador cresce como x^4. Assim
0\le f(x)=\frac{\operatorname{sen}^2(x)}{x^2\,(x+1)^2}\le\frac{1}{x^4}
e portanto
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
Isso indica a assíntota horizontal y=0.

Resposta

A única assíntota vertical é x=-1.
A única assíntota horizontal é y=0.

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