Encontre todas as derivadas mistas de segunda ordem (nos pontos admissíveis) e verifique o Teorema de Schwarz para as funções:
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Passo 1
A gente tem a função f(x,y)=3 arccos(√(y/x)) e o objetivo é achar as derivadas parciais de segunda ordem mistas f_xy e f_yx e verificar que são iguais (Teorema de Schwarz). Aqui o conteúdo é derivada parcial de função composta de duas variáveis, e vamos precisar aplicar a regra da cadeia e, para u=√(y/x), a regra do quociente. O domínio admissível é x>0 e 0<y<x.
Passo 2
Definimos u(x,y)=√(y/x)=(y/x)^{1/2}, de modo que f(x,y)=3 arccos(u). Pela regra da cadeia, f_x=3*(d/dx arccos(u))=3*(-1/√(1-u^2))·u_x, e f_y=3*(-1/√(1-u^2))·u_y.
Passo 3
Calculamos as derivadas de u:
[u_x=\frac12(y/x){-1/2}·(-y/x2)=-\frac{y}{2x^2√{y/x}},]
[u_y=\frac12(y/x)^{-1/2}·(1/x)=\frac{1}{2x√{y/x}}.]
[u_x=\frac12(y/x){-1/2}·(-y/x2)=-\frac{y}{2x^2√{y/x}},]
[u_y=\frac12(y/x)^{-1/2}·(1/x)=\frac{1}{2x√{y/x}}.]
Passo 4
Substituindo em f_x e f_y e simplificando usando u=√(y/x) e √(1-u^2)=√((x-y)/x), obtemos:
[f_x=\frac{3y}{2x2u√{1-u2}}=\frac{3√y}{2x√{x-y}},]
[f_y=-\frac{3}{2xu√{1-u^2}}=-\frac{3}{2√{y(x-y)}}.]
[f_x=\frac{3y}{2x2u√{1-u2}}=\frac{3√y}{2x√{x-y}},]
[f_y=-\frac{3}{2xu√{1-u^2}}=-\frac{3}{2√{y(x-y)}}.]
Passo 5
Para f_xy, diferenciamos f_x=\tfrac{3}{2x}·y{1/2}(x-y){-1/2} em relação a y usando produto e potência:
[f_{xy}=\frac{3}{4√y,(x-y)^{3/2}}.]
[f_{xy}=\frac{3}{4√y,(x-y)^{3/2}}.]
Passo 6
Para f_yx, diferenciamos f_y=-\tfrac{3}{2}[y(x-y)]^{-1/2} em relação a x:
[f_{yx}=\frac{3}{4√y,(x-y)^{3/2}}.]
[f_{yx}=\frac{3}{4√y,(x-y)^{3/2}}.]
Passo 7
Como f_{xy}=f_{yx} em todo o domínio admissível, o Teorema de Schwarz está verificado.
Resposta
As derivadas mistas de segunda ordem coincidem: f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=\frac{3}{4\sqrt{y},(x-y)^{3/2}}, de modo que o Teorema de Schwarz se satisfaz no domínio x>0, 0<y<x.