Questão 4: Utilize completamento de quadrado para encontrar as raízes reais (caso elas existam):
3 x^2-15 x+12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes reais do polinômio 3x² − 15x + 12 usando completamento de quadrado. Vamos usar a ideia de reescrever esse polinômio como um quadrado perfeito mais um valor constante para depois igualar a zero.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 3 dos dois primeiros termos para isolar x² − 5x:
3x^2 - 15x + 12 = 3l(x^2 - 5xr) + 12

Passo 3

Em seguida, completamos o quadrado em x^2 - 5x. Lembrando que x^2 - 5x = x^2 - 5x + l(tfrac52r)^2 - l(tfrac52r)^2, temos:
x^2 - 5x = l(x - tfrac52r)^2 - tfrac254
Substituindo de volta:
3l(x^2 - 5xr) + 12 = 3l(l(x - tfrac52r)^2 - tfrac254r) + 12

Passo 4

Agora distribuímos o 3 e somamos com 12 (convertido para quarto):
3l(x - tfrac52r)^2 - tfrac754 + tfrac484 = 3l(x - tfrac52r)^2 - tfrac274
Igualamos a zero:
3l(x - tfrac52r)^2 - tfrac274 = 0 Rightarrow 3l(x - tfrac52r)^2 = tfrac274

Passo 5

Finalmente, isolamos o quadrado e extraímos a raiz:
(x - tfrac52)^2 = tfrac94 Rightarrow x - tfrac52 = pmtfrac32
Isso gera duas soluções:
x = tfrac52 + tfrac32 = 4 e x = tfrac52 - tfrac32 = 1

Resposta

As raízes reais são x = 1 e x = 4.

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