Encontre todas as derivadas de 2^a ordem das funções abaixo, e aplique elas no ponto indicado.
f(x, y, z)=x^2 y^3 z^4, no ponto (12,-1,2).

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y,z)=x^2y^3z^4
e depois avaliar cada uma no ponto l(tfrac12,-1,2r). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx = partialpartial xl(x^2y^3z^4r) =2x,y^3z^4,
fy = partialpartial yl(x^2y^3z^4r) =3x^2y^2z^4,
fz = partialpartial zl(x^2y^3z^4r) =4x^2y^3z^3

Passo 3

Agora derivamos de novo para obter as parciais de segunda ordem (mostramos as seis únicas não redundantes e observamos depois a simetria):
fxx = partialpartial xl(2x,y^3z^4r) =2,y^3z^4, fxy = partialpartial yl(2x,y^3z^4r) =6x,y^2z^4, fxz = partialpartial zl(2x,y^3z^4r) =8x,y^3z^3,
fyy = partialpartial yl(3x^2y^2z^4r) =6x^2y,z^4, fyz = partialpartial zl(3x^2y^2z^4r) =12x^2y^2z^3, fzz = partialpartial zl(4x^2y^3z^3r) =12x^2y^3z^2
Pela igualdade das derivadas mistas de Schwarz, vale também
,fyx=fxy,;fzx=fxz,;fzy=fyz

Passo 4

Substituímos ;x=tfrac12,;y=-1,;z=2 em cada fórmula:
y^3=(-1)^3=-1,;y^2=1,;z^2=4,;z^3=8,;z^4=16,;x=tfrac12,;x^2=tfrac14

Resposta

fxxl(tfrac12,-1,2r)=-32
fxyl(tfrac12,-1,2r)=fyxl(tfrac12,-1,2r)=48
fxzl(tfrac12,-1,2r)=fzxl(tfrac12,-1,2r)=-32
fyyl(tfrac12,-1,2r)=-24
fyzl(tfrac12,-1,2r)=fzyl(tfrac12,-1,2r)=24
fzzl(tfrac12,-1,2r)=-12

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