Encontre todas as derivadas de
ordem das funções abaixo, e aplique elas no ponto indicado.
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
e depois avaliar cada uma no ponto
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Agora derivamos de novo para obter as parciais de segunda ordem (mostramos as seis únicas não redundantes e observamos depois a simetria):
Pela igualdade das derivadas mistas de Schwarz, vale também
Passo 4
Substituímos
em cada fórmula: