1. Determine o valor mínimo de f(x, y)=x^2+y^2 sob a condição 2 x^2+y^2-1=0.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar
f(x,y)=x^2+y^2
sujeito à restrição
2x^2+y^2-1=0
Isso é um problema de otimização com restrição de igualdade, que podemos tratar de forma simples isolando uma variável via a equação da restrição.

Passo 2

Da restrição temos
2x^2+y^2=1
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x^2=1-y^22
Substituímos isso em f para escrever f apenas em função de y.

Passo 3

Substituindo em f vem
f(y)=x^2+y^2=1-y^22+y^2=12+12y^2
Agora basta minimizar essa função de y.

Passo 4

Note que
f(y)=tfrac12+tfrac12,y^2
é crescente em y^2, de modo que o mínimo ocorre quando y^2 é mínimo, ou seja, em y^2=0. Assim,
y=0 e fmin=12+12cdot0=12

Passo 5

Com y=0 a restrição dá
2x^2=1 Longrightarrow x^2=12 Longrightarrow x=pm1raiz2

Resposta

O valor mínimo de f sob a restrição é tfrac12, atingido nos pontos
l(x,yr)=l(pmtfrac1raiz2,0r)

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