Encontre todas as derivadas de 2^a ordem das funções abaixo, e aplique elas no ponto indicado.
f(x, y)=raiz[3]x+arctg(xy), no ponto (2 raiz2, 2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=raiz[3]x+arctan!l(tfracxyr)
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial xpartial y, partial^2 fpartial ypartial x e partial^2 fpartial y^2, avaliadas no ponto l(2raiz2,2r). Para isso vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 2

Derivando em relação a x:
– A derivada de raiz[3]x=x^1/3 é
partialpartial xx^1/3=tfrac13,x^-2/3
– A derivada de arctan(x/y) é, pela regra da cadeia,
partialpartial xarctan!l(tfracxyr) =11+(x/y)^2cdotpartialpartial x!l(tfracxyr) =11+(x/y)^2cdot1y
Como
1+(x/y)^2=x^2+y^2y^2,
temos
1yl(1+(x/y)^2r) =y^2y,(x^2+y^2) =yx^2+y^2
Portanto
fx(x,y) =13,x^-2/3+yx^2+y^2
Derivando em relação a y:
raiz[3]x não depende de y, logo contribui zero.
– Para arctan(x/y) temos
partialpartial yarctan!l(tfracxyr) =11+(x/y)^2cdotpartialpartial y!l(tfracxyr) =11+(x/y)^2cdotl(-xy^2r) =-xy^2,(1+(x/y)^2)
Usando de novo 1+(x/y)^2=(x^2+y^2)/y^2, fica
fy(x,y)=-xx^2+y^2

Passo 3

Agora derivamos fx para obter fxx e fxy.
Para fxx:
fx(x,y)=13x^-2/3+yx^2+y^2
– Derivada de tfrac13x^-2/3 em x é tfrac13cdot(-tfrac23),x^-5/3=-tfrac29,x^-5/3
– Derivada de tfracyx^2+y^2 em x (tratando y como constante) é
ycdotl(-2xr),(x^2+y^2)^-2 =-2xy(x^2+y^2)^2
Logo
fxx(x,y) =-29,x^-5/3-2xy(x^2+y^2)^2
Para fxy: derivamos fx em relação a y. A primeira parcela não depende de y, vem zero. Na segunda,
partialpartial yyx^2+y^2 =(x^2+y^2)-ycdot2y(x^2+y^2)^2 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Assim
fxy(x,y)=x^2-y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora de fy extraímos fyx e fyy.
Temos
fy(x,y)=-xx^2+y^2
– Para fyx, derivamos em relação a x:
fyx(x,y) =partialpartial xl(-x,(x^2+y^2)^-1r) =-,(x^2+y^2)^-1+2x^2,(x^2+y^2)^-2 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2,
o que coincide com fxy, conforme esperado pela continuidade.
– Para fyy, derivamos fy em y:
fyy(x,y) =-xcdotpartialpartial y(x^2+y^2)^-1 =-xcdotl(-1r),2y,(x^2+y^2)^-2 =2xy(x^2+y^2)^2

Passo 5

Avaliação em l(x,yr)=(2raiz2,2):
x^2+y^2=8+4=12, x^5/3=(2raiz2)^5/3=4raiz2
Substituindo em cada fórmula:
fxx(2raiz2,2) =-29,(2raiz2)^5/3 -2,(2raiz2)cdot212^2 =-raiz236-8raiz2144 =-raiz212,
fxy(2raiz2,2) =(2raiz2)^2-2^212^2 =8-4144 =136,
fyx(2raiz2,2)=fxy(2raiz2,2) =136,
fyy(2raiz2,2) =2,(2raiz2)cdot212^2 =8raiz2144 =raiz218

Resposta

fxx(2raiz2,2)=-raiz212, fxy(2raiz2,2)=136, fyx(2raiz2,2)=136, fyy(2raiz2,2)=raiz218

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