Encontre todas as derivadas de
ordem das funções abaixo, e aplique elas no ponto indicado.
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
,
,
e
, avaliadas no ponto
. Para isso vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 2
Derivando em relação a
:
– A derivada de é
– A derivada de
– A derivada de
é, pela regra da cadeia,
Como
temos
Portanto
Derivando em relação a
:
– não depende de
, logo contribui zero.
– Para temos
–
– Para
Usando de novo
, fica
Passo 3
Agora derivamos
para obter
e
.
Para
:
– Derivada de
em
é
– Derivada de em
(tratando
como constante) é
– Derivada de
Logo
Para
: derivamos
em relação a
. A primeira parcela não depende de
, vem zero. Na segunda,
Assim
Passo 4
Agora de
extraímos
e
.
Temos
– Para
, derivamos em relação a
:
o que coincide com
, conforme esperado pela continuidade.
– Para
, derivamos
em
:
Passo 5
Avaliação em
:
Substituindo em cada fórmula: