O objetivo desse exercício é mostrar que lim (1+1n)^n=e.
a) Verifique que log ((1+1n)^n)=log (1+1n)1n.
b) Usando o item anterior, verifique que (1+1n)^n=exp (log (1+1n)1n).
c) Usando o item anterior, mostre que lim (1+1n)^n=e.

Passo 1

O enunciado quer provar que
limntoinftyl(1+1nr)^n=e
O conteúdo principal envolve as propriedades do logaritmo e da exponencial e o limite padrão
limxto0log(1+x)x=1

Passo 2

Para o item (a) usamos a propriedade de logaritmo de potência, que diz que
logl(a^br)=b,log(a)
Aplicando com a=1+tfrac1n e b=n, obtemos
logl(l(1+tfrac1nr)^nr) =n;logl(1+tfrac1nr) =logl(1+tfrac1nr)tfrac1n

Passo 3

Para o item (b) lembramos que a função exponencial é a inversa do logaritmo, logo
l(1+tfrac1nr)^n =expl(logl((1+tfrac1n)^nr)r) =exp!l(log(1+tfrac1n)tfrac1nr)

Passo 4

Para o item (c) analisamos o expoente quando ntoinfty. Como tfrac1nto0, temos
logl(1+tfrac1nr)tfrac1n ;longrightarrow; limxto0log(1+x)x = 1
Então, pela continuidade de exp,
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n =limntoinftyexp!l(log(1+tfrac1n)tfrac1nr) =exp(1) =e

Resposta

limntoinftyl(1+1nr)^n=e

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