(2,5 pontos) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da funçāo
dada por
Passo 1
O enunciado pede para desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função de duas variáveis definida por
O conteúdo envolve compreender o que são curvas de nível (contornos) e reconhecer o tipo de superfície gerada por uma soma de quadrados com coeficientes positivos.
Passo 2
Uma curva de nível para um valor constante
é o conjunto de pontos
tais que
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem. Para ver isso em forma padrão, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Escolhemos alguns valores de
para esboçar as elipses:
- Para
, os semi-eixos são
na direção e na direção . - Para
, os semi-eixos são
em e em . - Para
, os semi-eixos são
em e em .
No plano, desenhe elipses concêntricas com esses semi-eixos.
Passo 4
O gráfico tridimensional de
é um parabolóide elíptico voltado para cima, pois para cada reta fixa em
ou
temos uma parábola e os coeficientes positivos “esticam” diferentemente nas direções
e
(cresce mais rápido em
).
Passo 5
Para esboçar o parabolóide:
- Desenhe no plano
as curvas de nível elípticas obtidas no Passo 3. - Em cada elipse de nível
, eleve verticalmente até . - Una suavemente essas elipses elevadas, formando “camadas” que crescem com
, obtendo o parabolóide elíptico.
Resposta
As curvas de nível são as elipses
com semi-eixos
e
. O gráfico é um parabolóide elíptico voltado para cima.