(2,5 pontos) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da funçāo z=f(x, y) dada por
z=2 x^2+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função de duas variáveis definida por
z = 2x^2 + 3y^2
O conteúdo envolve compreender o que são curvas de nível (contornos) e reconhecer o tipo de superfície gerada por uma soma de quadrados com coeficientes positivos.

Passo 2

Uma curva de nível para um valor constante c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
2x^2 + 3y^2 = c
Esta é a equação de uma elipse centrada na origem. Para ver isso em forma padrão, dividimos ambos os lados por c:
x^2c/2 + y^2c/3 = 1

Passo 3

Escolhemos alguns valores de c>0 para esboçar as elipses:
  • Para c=1, os semi-eixos são
    raiz1/2 na direção x e raiz1/3 na direção y.
  • Para c=2, os semi-eixos são
    raiz2/2=1 em x e raiz2/3 em y.
  • Para c=6, os semi-eixos são
    raiz6/2=raiz3 em x e raiz6/3=raiz2 em y.
    No plano xy, desenhe elipses concêntricas com esses semi-eixos.

Passo 4

O gráfico tridimensional de
z = 2x^2 + 3y^2
é um parabolóide elíptico voltado para cima, pois para cada reta fixa em x ou y temos uma parábola e os coeficientes positivos “esticam” diferentemente nas direções x e y (cresce mais rápido em y).

Passo 5

Para esboçar o parabolóide:
  1. Desenhe no plano xy as curvas de nível elípticas obtidas no Passo 3.
  2. Em cada elipse de nível c, eleve verticalmente até z=c.
  3. Una suavemente essas elipses elevadas, formando “camadas” que crescem com z, obtendo o parabolóide elíptico.

Resposta

As curvas de nível são as elipses
2x^2 + 3y^2 = c,
com semi-eixos raizc/2 e raizc/3. O gráfico é um parabolóide elíptico voltado para cima.

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