Questão 6. Determine os valores de a e b para que a reta r : lx=3+t y=-1-t z=-2-t esteja contida no plano pi: 2 x+a y+n z-5=0

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de a e b de modo que a reta
r: x=3+t, y=-1-t, z=-2-t
esteja inteira e precisamente no plano
pi:2x+a,y+b,z-5=0
O conteúdo aqui é geometria analítica de reta e plano: para que a reta fique contida no plano, sua direção deve ser ortogonal ao vetor normal do plano e um ponto qualquer da reta deve satisfazer a equação do plano.

Passo 2

Extraímos da reta seu vetor diretor
v=(1,,-1,,-1)
e do plano seu vetor normal
n=(2,,a,,b)

Passo 3

Como a reta está contida no plano, v deve ser perpendicular a n. Logo
ncdotv=2cdot1 + acdot(-1) + bcdot(-1)=0
que dá a equação
2 - a - b = 0 Longrightarrow a + b = 2

Passo 4

Além disso, um ponto da reta deve satisfazer a equação do plano. Tomando t=0, o ponto
P=(3,,-1,,-2)
deve obedecer
2cdot3 + acdot(-1) + bcdot(-2) - 5 = 0
ou seja
6 - a - 2b - 5 = 0 Longrightarrow 1 - a - 2b = 0 Longrightarrow a + 2b = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema
a + b = 2, a + 2b = 1,
subtraindo a primeira da segunda fica
(a+2b)-(a+b)=1-2 ;Longrightarrow; b=-1,
e então
a = 2 - b = 2 - (-1) = 3

Resposta

a=3 e b=-1.

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