Questão 6. Determine os valores de a e b para que a reta : esteja contida no plano pi: 2 x+a y+n z-5=0
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores de a e b de modo que a reta
r: x=3+t, y=-1-t, z=-2-t
esteja inteira e precisamente no plano
pi:2x+a,y+b,z-5=0
O conteúdo aqui é geometria analítica de reta e plano: para que a reta fique contida no plano, sua direção deve ser ortogonal ao vetor normal do plano e um ponto qualquer da reta deve satisfazer a equação do plano.
Passo 2
Extraímos da reta seu vetor diretor
v=(1,,-1,,-1)
e do plano seu vetor normal
n=(2,,a,,b)
Passo 3
Como a reta está contida no plano, v deve ser perpendicular a n. Logo
ncdotv=2cdot1 + acdot(-1) + bcdot(-1)=0
que dá a equação
2 - a - b = 0 Longrightarrow a + b = 2
Passo 4
Além disso, um ponto da reta deve satisfazer a equação do plano. Tomando t=0, o ponto
P=(3,,-1,,-2)
deve obedecer
2cdot3 + acdot(-1) + bcdot(-2) - 5 = 0
ou seja
6 - a - 2b - 5 = 0 Longrightarrow 1 - a - 2b = 0 Longrightarrow a + 2b = 1