Encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial
f(x)=x^4-2 x^3+3 x^2-2 x+100

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre todas as derivadas de ordem superior da função polinomial f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+100. O conteúdo aqui é derivação de polinômios usando a regra do expoente: ddxx^n=n x^n-1. Vamos aplicar isso para cada ordem até perceber que as derivadas de ordem 5 em diante são nulas.

Passo 2

Para obter a 1ª derivada, aplicamos a regra do expoente termo a termo: a derivada de x^4 é 4x^3, de -2x^3 é -6x^2, de 3x^2 é 6x, de -2x é -2 e de constante 100 é zero. Assim,
f'(x)=4x^3-6x^2+6x-2

Passo 3

A 2ª derivada é a derivada de f'(x). Aplicando de novo a regra do expoente, temos:
f''(x)=12x^2-12x+6

Passo 4

Para a 3ª derivada derivamos f''(x):
f'''(x)=24x-12

Passo 5

A 4ª derivada vem da derivada de f'''(x):
f''''(x)=24

Passo 6

Como já cheguei a uma constante em f''''(x), a 5ª derivada e todas as superiores são zero, pois a derivada de constante é zero.

Resposta

f’(x)=4x{3}-6x{2}+6x-2; f’’(x)=12x^{2}-12x+6; f’’’(x)=24x-12; f’’’’(x)=24; e f^{(n)}(x)=0 para todo n\ge5.

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