(a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1-(x / 2)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto0raiz1+x-1-tfracx2x^2. Esse é um problema de limite do tipo 0/0, e vamos precisar usar desenvolvimento em série (Taylor) ou derivadas para resolver.

Passo 2

Vamos primeiro verificar a indeterminação: quando x=0 temos no numerador
raiz1+0-1-0/2=1-1=0 e no denominador 0^2=0. Portanto é um caso 0/0, típico de aplicar Taylor ou L’Hôpital.

Passo 3

Para evitar L’Hôpital dupla, é mais direto usar o desenvolvimento de Taylor de raiz1+x em torno de x=0. Sabemos que:
raiz1+x=1+x2-x^28+o(x^2)
Aqui usamos que para funções suaves podemos expandir em potência de x.

Passo 4

Substituindo esse desenvolvimento no numerador:
raiz1+x-1-x2 = l(1+x2-x^28+o(x^2)r)-1-x2 = -x^28+o(x^2)

Passo 5

Por fim, dividimos pelo x^2 e tomamos o limite quando xto0:
-tfracx^28+o(x^2)x^2 = -18 + o(1) longrightarrow -18

Resposta

-\tfrac{1}{8}

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