(a) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1-(x / 2)}{x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
. Esse é um problema de limite do tipo
, e vamos precisar usar desenvolvimento em série (Taylor) ou derivadas para resolver.
Passo 2
Vamos primeiro verificar a indeterminação: quando
temos no numerador
e no denominador
. Portanto é um caso
, típico de aplicar Taylor ou L’Hôpital.
Passo 3
Para evitar L’Hôpital dupla, é mais direto usar o desenvolvimento de Taylor de
em torno de
. Sabemos que:
Aqui usamos que para funções suaves podemos expandir em potência de
.
Passo 4
Substituindo esse desenvolvimento no numerador:
Passo 5
Por fim, dividimos pelo
e tomamos o limite quando
:
Resposta
-\tfrac{1}{8}