(h) $\lim _{x \rightarrow 0} x \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O problema pede para calcular limxto 0 xcosl(tfrac1xr). Estamos trabalhando com limites de funções que envolvem produto e vamos precisar do Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Sabemos que a função cosseno é limitada: -1 <= cos(t) <= 1 para todo t. Logo, para t = tfrac1x temos
-1 <= cosl(tfrac1xr) <= 1. Agora, multiplicando essa desigualdade por x, obtemos
-|x| <= xcosl(tfrac1xr) <= |x|.

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, se duas funções f(x) e g(x) tendem ao mesmo limite L e f(x) <= h(x) <= g(x), então lim h(x) = L. Aqui temos
limxto 0 -|x| = 0 e limxto 0 |x| = 0,
portanto
limxto 0 xcosl(tfrac1xr) = 0.

Resposta

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