Encontre todas as derivadas parciais de f de segunda ordem no caso abaixo.
f(x, y, z)=x y+y z+x z

Passo 1

O exercício pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y,z)=xy+yz+xz. O conteúdo aqui é derivadas parciais sucessivas, então vamos precisar lembrar como calcular derivações parciais (ou seja, derivar com respeito a uma variável mantendo as outras constantes) e depois aplicar isso duas vezes.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Lembre-se de derivar cada termo em relação à variável desejada, mantendo as demais constantes:
Para x:
fx=partialpartial x(xy + yz + xz)=y + 0 + z = y + z
Para y:
fy=partialpartial y(xy + yz + xz)=x + z + 0 = x + z
Para z:
fz=partialpartial z(xy + yz + xz)=0 + y + x = x + y

Passo 3

Agora vamos derivar essas primeiras derivadas para obter as segundas ordens. Começando por f_x:
fxx=partialpartial x(y+z)=0,
fxy=partialpartial y(y+z)=1,
fxz=partialpartial z(y+z)=1

Passo 4

Fazendo o mesmo para f_y e f_z:
De f_y = x+z:
fyx=partialpartial x(x+z)=1,
fyy=partialpartial y(x+z)=0,
fyz=partialpartial z(x+z)=1
De f_z = x+y:
fzx=partialpartial x(x+y)=1,
fzy=partialpartial y(x+y)=1,
fzz=partialpartial z(x+y)=0

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx=0, fxy=1, fxz=1,
fyx=1, fyy=0, fyz=1,
fzx=1, fzy=1, fzz=0

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