Seja I=integral0^pi4=0.292893.
(b) Encontre uma aproximação para I, usando a regra dos Trapézios repetida, regra 13 de Simpson repetida, regra dos retângulos repetida com 4 subintervalos.

Passo 1

A gente quer aproximar o integral I=integral0^pi/4sin x,dx, cujo valor exato é 1-tfracraiz22approx0.292893. Vamos usar métodos de Newton–Cotes com 4 subintervalos: trapézios repetido, Simpson 1/3 repetido e retângulos (midpoint) repetido.

Passo 2

Primeiro dividimos [0,pi/4] em n=4 subintervalos de mesmo tamanho
h=pi/4-04=pi16approx0.19635
Definimos os nós xi=i h e calculamos
x0&=0,&f(x0)&=sin0=0, x1&=pi/16,&f(x1)&=sin(pi/16)approx0.19509, x2&=pi/8,&f(x2)&=sin(pi/8)approx0.38268, x3&=3pi/16,&f(x3)&=sin(3pi/16)approx0.55557, x4&=pi/4,&f(x4)&=sin(pi/4)=tfracraiz22approx0.70711

Passo 3

Regra dos trapézios repetida: approximamos por trapezoides em cada subintervalo. A fórmula é
T = hl[f(x0)2+f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)2r]
Substituindo os valores acima, obtemos
Tapprox0.29195

Passo 4

Regra 1/3 de Simpson repetida: aqui usamos parabolas em cada par de subintervalos. A fórmula com n=4 é
S = h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+f(x4)r]
Fazendo as contas chegamos a
Sapprox0.292895

Passo 5

Regra dos retângulos (midpoint) repetida: escolhemos os pontos médios
xi+1/2=xi+tfrac h2 e avaliamos
sin(pi/32)&approx0.09802, sin(3pi/32)&approx0.29028, sin(5pi/32)&approx0.47140, sin(7pi/32)&approx0.63439
A regra é
M = hsumi=0^3f(xi+1/2),
e o resultado é
Mapprox0.293365

Resposta

Trapézios (n=4): Tapprox0.29195; Simpson 1/3 (n=4): Sapprox0.292895; Retângulos midpoint (n=4): Mapprox0.293365.

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