Sejam as seguintes integrais
© integral-2^4(1-x-4 x^3+2 x^5) d x
Calcule um valor aproximado usando:
vi) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^-5, usando a regra dos retângulos repetida.

Passo 1

Temos que estimar o número de subintervalos na regra dos retângulos composta de modo que o erro seja inferior a 10^{-5}. Aqui vamos usar a versão de ponto médio (regra dos retângulos) e seu estimador de erro, que envolve a segunda derivada da função.

Passo 2

A função é f(x)=1−x−4x{3}+2x{5}. Para a estimativa de erro da regra do ponto médio precisamos de f’’(x). Calculamos:
f'(x)=-1−12x^2+10x^4,
f''(x)=-24x+40x^3=8x(5x^2−3)

Passo 3

Para obter o maior valor de |f’’(x)| em [−2,4], avaliamos nos pontos críticos f’’(x)=0 ⇒ x=0, x=±√(3/5) e nos extremos x=−2,4. Temos:
f''(0)=0, f''(±√(3/5))=0, f''(−2)=−272, f''(4)=2464
Logo M_{2}=max_{[−2,4]}|f’’(x)|=2464.

Passo 4

A fórmula do erro para a regra composta de ponto médio é
|E|<=(b−a)^324,n^2,M2,
onde a=−2, b=4, b−a=6 e M_{2}=2464. Substituindo:
|E|<=6^324,n^2cdot2464=22176n^2

Passo 5

Queremos 22176/n{2}<10{-5}. Resolvendo para n:
n^2>22176times10^5=2,2176times10^9,
n>raiz2,2176times10^9approx47090,8

Passo 6

Como n deve ser inteiro, tomamos o menor valor inteiro que satisfaz a desigualdade: n=47091.

Resposta

47091 subintervalos

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