Seja I=integral0^pi4=0.292893.
(a) Encontre uma aproximação para I, usando a regra dos Trapézios, regra 13 de Simpson, regra dos retângulos.

Passo 1

Temos a integral I=integral0^pi/4sin x,dx cujo valor exato é (2-raiz2)/2approx0.292893. O conteúdo é integração numérica: regra dos trapézios, Simpson 1/3 e retângulos. Vamos usar f(x)=sin x e os pontos de divisão em cada método.

Passo 2

Regra dos trapézios: escolhemos um painel ( n=1), então h=b-a=pi/4. A fórmula é
T=h2l[f(a)+f(b)r]
Aqui f(0)=0 e f(pi/4)=tfracraiz22, logo
T=pi/42l(0+raiz22r)=piraiz216approx0.27768

Passo 3

Regra 1/3 de Simpson: requer n par, tomamos n=2 com h=(b-a)/2=pi/8. A fórmula é
S=h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r]
Temos x0=0, x1=pi/8, x2=pi/4, então
f(0)=0, f(pi/8)=raiz2-raiz22, f(pi/4)=raiz22
Substituindo,
S=pi/83l(0+4raiz2-raiz22+raiz22r) =pi24l(2raiz2-raiz2+tfracraiz22r) approx0.292893

Passo 4

Regra dos retângulos (ponto médio): usamos um painel ( n=1), então h=b-a=pi/4 e o ponto médio é xm=(a+b)/2=pi/8. A fórmula é
R=f(xm)cdot h
Como f(pi/8)=raiz2-raiz2/2, temos
R=raiz2-raiz22cdotpi4approx0.300705

Resposta

Trapézios: ~0.27768; Simpson 1/3: ~0.292893; Retângulo (ponto médio): ~0.300705.

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