Encontre todas as derivadas parciais de f de segunda ordem no caso abaixo.
f(x, y)=cos y+y sen x

Passo 1

Resumo: a função é f(x,y)=cos y + y sen x. O que vamos fazer é calcular as derivadas parciais de primeira ordem em x e y e, a partir delas, obter as derivadas parciais de segunda ordem. O conteúdo usado aqui é diferenciação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Derivada parcial de primeira ordem em x (f_x): tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Como cos y é constante em x, sua derivada é zero, e a derivada de y sen x é y·cos x, pois a derivada de sen x é cos x.
Derivada parcial de primeira ordem em y (f_y): tratamos x como constante. A derivada de cos y em relação a y é −sen y, e de y sen x é simplesmente sen x, pois derivada de y em y é 1 multiplicada por sen x constante.

Passo 3

Derivada parcial de segunda ordem f_{xx}: derivamos f_x= y cos x em relação a x, tratando y como constante. A derivada de cos x é −sen x, resultando em f_{xx}=−y sen x.

Passo 4

Derivada parcial mista f_{xy}: derivamos f_x= y cos x em relação a y, tratando x como constante. Isso produz f_{xy}=cos x.
Derivada parcial mista f_{yx}: derivamos f_y=−sen y + sen x em relação a x, tratando y como constante. A única parte que depende de x é sen x, cuja derivada é cos x, dando f_{yx}=cos x. Isso confirma f_{xy}=f_{yx}.

Passo 5

Derivada parcial de segunda ordem f_{yy}: derivamos f_y=−sen y + sen x em relação a y. A derivada de −sen y é −cos y e de sen x é zero, logo f_{yy}=−cos y.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx(x,y)=-y,sin x, fxy(x,y)=cos x, fyx(x,y)=cos x e fyy(x,y)=-cos y.

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