Encontre todas as derivadas parciais de f de segunda ordem no caso abaixo.
f(x, y)=x e^y+x^2+4

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=x e^y + x^2 + 4. O conteúdo aqui é derivada parcial: a ideia é derivar em relação a uma variável deixando a outra fixa, e depois repetir o processo para chegar às derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando f em relação a x (com y constante), temos:
fx(x,y)=partialpartial x(x e^y + x^2 +4)=e^y+2x
Agora derivando f em relação a y (com x constante), temos:
fy(x,y)=partialpartial y(x e^y + x^2 +4)=x e^y

Passo 3

Vamos à segunda ordem. Para f_{xx}, derivamos f_x em relação a x (y constante):
fxx(x,y)=partialpartial x(e^y+2x)=0+2=2

Passo 4

Em seguida, calculamos as derivadas mistas. Para f_{xy}, derivamos f_x em relação a y (x constante):
fxy(x,y)=partialpartial y(e^y+2x)=e^y
E para f_{yx}, derivamos f_y em relação a x (y constante):
fyx(x,y)=partialpartial x(x e^y)=e^y

Passo 5

Por fim, a derivada f_{yy} vem de derivar f_y em relação a y (x constante):
fyy(x,y)=partialpartial y(x e^y)=x e^y

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são: fxx(x,y)=2, fxy(x,y)=e^y, fyx(x,y)=e^y e fyy(x,y)=x e^y.

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