Encontre todas as derivadas parciais de
de segunda ordem no caso abaixo.
Passo 1
O enunciado quer que a gente ache todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=x e^y + x^2 + 4. O conteúdo aqui é derivada parcial: a ideia é derivar em relação a uma variável deixando a outra fixa, e depois repetir o processo para chegar às derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando f em relação a x (com y constante), temos:
Agora derivando f em relação a y (com x constante), temos:
Passo 3
Vamos à segunda ordem. Para f_{xx}, derivamos f_x em relação a x (y constante):
Passo 4
Em seguida, calculamos as derivadas mistas. Para f_{xy}, derivamos f_x em relação a y (x constante):
E para f_{yx}, derivamos f_y em relação a x (y constante):
Passo 5
Por fim, a derivada f_{yy} vem de derivar f_y em relação a y (x constante):
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
,
,
e
.