Sendo v=e^3 x+4 y cos 5 z, verifique que
partial^2 vpartial x^2+partial^2 vpartial y^2+partial^2 vpartial z^2=0

Passo 1

Temos a função v = e^3x+4ycos 5z. Precisamos mostrar que partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 + partial^2 vpartial z^2 = 0. Para isso, vamos calcular cada segunda derivada parcial.

Passo 2

As derivadas parciais em x:
partial vpartial x = 3e^3x+4ycos 5z
partial^2 vpartial x^2 = 9e^3x+4ycos 5z
Aqui usamos que ddxe^3x+4y = 3e^3x+4y e cos 5z é constante.

Passo 3

As derivadas parciais em y:
partial vpartial y = 4e^3x+4ycos 5z
partial^2 vpartial y^2 = 16e^3x+4ycos 5z
Analogamente, usamos que ddye^3x+4y = 4e^3x+4y.

Passo 4

As derivadas parciais em z:
partial vpartial z = -5e^3x+4ysin 5z
partial^2 vpartial z^2 = -25e^3x+4ycos 5z
Aqui tratamos e^3x+4y como constante e usamos ddzcos 5z = -5sin 5z.

Passo 5

Somando as segundas derivadas:
partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 + partial^2 vpartial z^2 = 9e^3x+4ycos 5z + 16e^3x+4ycos 5z - 25e^3x+4ycos 5z = 0
Assim, nabla^2 v = 0.

Resposta

0

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