Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem, e aplique elas no ponto indicado. Diga se na direção desta derivada neste ponto, a função está crescendo (derivada >0 ), decrescendo ( <0 ) ou se está com crescimento estacionado ( =0 ).
f(x, y)=x^2(y+2), no ponto (-6,2).

Passo 1

O enunciado pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y)=x^2(y+2) e, em seguida, avaliá-las no ponto (-6,2). O conteúdo aqui é definição de derivada parcial: para partial f/partial x fixamos y constante e para partial f/partial y fixamos x constante.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e derivamos x^2(y+2) em relação a x. Usando a regra do produto:
partial fpartial x =2x,(y+2)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos x^2(y+2) em relação a y. Como x^2 é constante no processo,
partial fpartial y =x^2

Passo 4

Agora avaliamos cada parcial em (-6,2):
partial fpartial x(-6,2) =2cdot(-6)cdotl(2+2r) =-12cdot4 =-48,
partial fpartial y(-6,2) =(-6)^2 =36

Passo 5

Interpretação do sinal:
  • Como partial fpartial x(-6,2)=-48<0, a função está decrescendo na direção do eixo x naquele ponto.
  • Como partial fpartial y(-6,2)=36>0, a função está crescendo na direção do eixo y naquele ponto.

Resposta

partial fpartial x=-48 em (-6,2), decrescendo.
partial fpartial y=36 em (-6,2), crescendo.

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