Determine o volume do sólidò gerado pela rotação das funções abaixo em torno do eixo indicado.
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Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=2 a região limitada por
y = 2x^2, x=1, x=2, y=2
Aqui vamos usar o método dos discos (círculos), pois o eixo de rotação é horizontal e os “fatias” verticais geram discos.

Passo 2

Em cada x fixo com 1<= x<=2, o segmento da região vai de yinf=2 até ysup=2x^2. Ao girar em torno de y=2, o raio interno vale
rint=|2-2|=0
e o raio externo vale
rext=|2x^2-2|=2x^2-2
A área do disco gerado é
A(x)=pil(rext^2 - rint^2r) =pil(2x^2-2r)^2
Portanto o volume é
V=integralx=1^2A(x),dx =piintegral1^2(2x^2-2)^2,dx

Passo 3

Simplificamos o integrando:
(2x^2-2)^2 =4(x^2-1)^2 =4l(x^4-2x^2+1r)
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V=4piintegral1^2l(x^4-2x^2+1r),dx

Passo 4

Calculamos a integral:
integrall(x^4-2x^2+1r),dx =x^55-2x^33+x
Avaliando de 1 a 2:
[x^55-2x^33+x]1^2 =l( 325-163+2r) -l(15-23+1r) =3815
Então
V=4picdot3815=152pi15

Resposta

boxedV=152pi15

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